1997-全国卷文-12 单-圆台的体积

本题导读

本题考查圆台的体积，以及由底面积和侧面积求母线、高。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 圆台上、下底面积分别为 $\pi$、$4\pi$，侧面积为 $6\pi$，这个圆台的体积是()

A. $\frac{2\sqrt{3}\pi }{3}$　　　　　　B. $2\sqrt{3}\pi$　　　　　　C. $\frac{7\sqrt{3}\pi }{6}$　　　　　　D. $\frac{7\sqrt{3}\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由底面积求上、下底半径。
2. 由侧面积求母线，再由母线求高，最后求体积。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由上下底面积 $\pi$、$4\pi$ 得上底半径 $r=1$、下底半径 $R=2$。侧面积 $\pi (r+R)l=6\pi$，即 $\pi \cdot 3\cdot l=6\pi$，得母线 $l=2$。高 $h=\sqrt{l^2-(R-r{)}^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$。圆台体积 $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)=\frac{\pi \sqrt{3}}{3}(4+2+1)=\frac{7\sqrt{3}\pi }{3}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆台的体积

核心方法：上底半径 $1$、下底半径 $2$，侧面积 $\pi (r+R)l=6\pi$ 得 $l=2$，高 $h=\sqrt{l^2-(R-r{)}^2}=\sqrt{3}$，体积 $\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)=\frac{7\sqrt{3}\pi }{3}$，选 D

避坑指南：侧面积定母线再算体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆台的结构

结论推广：一般地，由侧面积定母线再算高和体积

方法推广：侧面积定母线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-12 单-圆台中截面的侧面积比
• 2012-湖北卷文-19 解-四棱台棱柱表面积
• 2026-新高考II卷-05 单-棱台体积