本题导读
本题考查圆锥的体积公式，以及圆锥侧面展开图（扇形）的弧长与圆心角关系。
📌【题干】
Question
（1996年全国卷(理)） 母线长为 1 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角 等于 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
建立体积与结构变量的关系：
- 设圆锥的底面半径为 ，高为 ，已知母线长 。
- 根据空间勾股定理，有 。
- 将其代入圆锥体积公式 ，将体积转化为关于高 的一元函数。 通过导数求体积最大时的结构值：
- 对单变量体积函数 进行求导，令 得到极值点，进而确定体积最大时的高 和底面半径 。 计算侧面展开图的圆心角 ：
- 圆锥的底面周长 等于其侧面展开图（扇形）的弧长。
- 扇形的半径等于圆锥的母线长 。利用弧长公式 ，建立方程 ，直接求出 的弧度值。
✅【答案】
Success
D
✍【详细解析】
Abstract
构建体积函数 设圆锥的底面半径为 ，高为 （其中 ），体积为 。 已知母线长 ，由勾股定理可得：
代入圆锥的体积公式：
求体积取得最大值时的高 与半径 对 关于 进行求导：
令 ，解得在区间 内的唯一驻点为：
当 时，，函数单调递增； 当 时，，函数单调递减。 因此，当 时，圆锥的体积 取得最大值。
此时，将 代入半径平方关系式中，求出底面半径 ：
求侧面展开图的圆心角 圆锥的底面圆周长为：
将圆锥的侧面沿一条母线展开，得到一个扇形。 该扇形的半径等于圆锥的母线长 ，其弧长 恰好等于圆锥底面圆的周长 。 由弧长与圆心角公式 ，可得：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：圆锥基本空间几何量（高、底面半径、母线）的勾股互化；导数在立体几何最值问题中的经典应用；圆锥底面周长与侧面展开扇形弧长的拓扑等价关系。 核心方法：“一元函数化归法”。通过母线长固定的条件，消去底面半径从而构建关于高 的三次单项多项式方程，运用导数工具处理，是这类空间极值问题的标准解法。 避坑指南：
- 均值不等式应用错位陷阱：本题若直接利用基本不等式求 的最值，必须先对常数系数进行配系数处理（如 ），若盲目拆项容易导致等号无法成立，从而解出错误的极值比例。
- 误将展开图扇形的半径当成圆锥的底面半径。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题属于立体几何与函数最值（导数应用）交汇的常青树题型。直接源自教材中“函数的最大值与最小值应用题”章节关于“设计最优化容器体积”的标准经典例题改编。 结论推广： 对于任意已知母线长为 的广义圆锥体，当其内部体积取得最大值时，其结构参数及展开特性满足固定的空间比例常数模型：
- 最优结构比例：高与半径之比恒为 ；
- 最优半顶角余弦：母线与高的夹角（半顶角） 恒满足 ；
- 最大侧面展开角：无论母线长 的具体数值如何变化，体积最大时对应的侧面展开图圆心角恒为常数： 掌握这一组空间体积最优化的常数比例性质，在解决任何有关圆锥体积最大、表面积最小等变式客观题时，均可直接跳过所有求导步骤实现一秒秒杀。
🔗【关联脉络】
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