1993-上海-07 填-圆台侧面展开与侧面积

本题导读

本题考查圆台的侧面展开与侧面积，以及扇环圆心角与母线的关系。

📌【题干】

Question

（1993年上海卷） 已知圆台的上、下底面半径分别是 $10\mathrm{cm}$ 和 $20\mathrm{cm}$，它的侧面展开后所得扇环的圆心角是 $180^{\circ }$，那么圆台的侧面积是 $\underline{}$ $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$（结果中保留 $\pi$）.

🔍【思路分析】

破题导航

母线 $l$ 满足扇环圆心角 $\pi =\frac{2\pi (r_2-r_1)}{l}$ 得 $l=20$，侧面积 $=\pi (r_1+r_2)l=600\pi$。

✅【答案】

Success

$600\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设母线长为 $l$。圆台侧面展开为扇环，其圆心角（弧度）$\theta =\frac{2\pi (r_2-r_1)}{l}$。由 $\theta =\pi$、$r_2-r_1=10$，得 $l=20$。圆台侧面积 $S=\pi (r_1+r_2)l=\pi (10+20)\cdot 20=600\pi \mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆台侧面展开与侧面积

核心方法：扇环圆心角 $180^{\circ }=\pi$，母线 $l=\frac{2\pi (r_2-r_1)}{\pi }=20$，侧面积 $=\pi (r_1+r_2)l=600\pi$

避坑指南：由展开扇环圆心角反求母线长

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆台的展开

结论推广：扇环圆心角与母线、半径差有关

方法推广：展开图几何量互求

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积
• 1999-全国卷文-12 单-圆台中截面的侧面积比
• 1995-全国卷文-17 填-球内接圆台的体积之比