1999-全国卷文-12 单-圆台中截面的侧面积比

本题导读

本题考查圆台的侧面积，以及中截面把圆台分成上下两圆台的侧面积比。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 如果圆台的上底面半径为 $5$，下底面半径为 $R$，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为 $1:2$，那么 $R=$()

A. $10$　　　　　　　B. $15$　　　　　　　C. $20$　　　　　　　D. $25$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 中截面半径为 $\frac{R+5}{2}$。
2. 圆台侧面积与两底半径和及母线长成正比，列比例求 $R$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设圆台的母线长为 $l$。中截面的半径为 $\frac{R+5}{2}$，且上下两个小圆台的母线长均为 $\frac{l}{2}$。圆台侧面积与两底面半径之和及母线长的乘积成正比，因此 $\frac{S_{上}}{S_{下}}=\frac{5+\frac{R+5}{2}}{\frac{R+5}{2}+R}=\frac{R+15}{3R+5}=\frac{1}{2}$。解得 $2R+30=3R+5$，所以 $R=25$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆台中截面的侧面积比

核心方法：中截面半径 $\frac{R+5}{2}$，$\frac{S_{上}}{S_{下}}=\frac{5+\frac{R+5}{2}}{R+\frac{R+5}{2}}=\frac{R+15}{3R+5}=\frac{1}{2}$，得 $R=25$，选 D

避坑指南：侧面积与半径和成正比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆台的侧面积

结论推广：一般地，圆台侧面积与两底半径和及母线成正比

方法推广：侧面积与半径和成正比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2003-北京文-07 单-圆台侧面积比
• 2013-湖北卷文-16 填-圆台测雨
• 2013-湖北卷文-20 解-矿层中截面