本题导读
本题考查圆台的表面积与侧面积公式，以及圆台的体积公式。
📌【题干】
Question
（1997年全国卷(理)） 圆台上、下底面积分别为 、 ，侧面积为 ，这个圆台的体积是 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
求出上、下底面半径：利用圆的面积公式 结合已知上、下底面积，分别求出上底半径 和下底半径 。 求出母线长：利用圆台的侧面积公式 ，代入已知侧面积和半径，解出母线长 。 求出圆台的高：作圆台的轴截面（等腰梯形），通过等腰梯形的性质构造直角三角形，利用勾股定理求出圆台的高 。 计算体积：将 代入圆台体积公式 算得最终结果。
✅【答案】
Success
D
✍【详细解析】
Abstract
求解圆台的上、下底面半径 设圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 。 由题意得：
求解圆台的母线长 设圆台的母线长为 。根据圆台的侧面积公式： 代入已知数据：
求解圆台的高 考虑圆台的轴截面（为一个等腰梯形，上底为 ，下底为 ，腰长为 ）。 过上底的一个顶点向下底作垂线，垂足与等腰梯形同侧底角顶点之间的距离为：
在截面构成的直角三角形中，由勾股定理可得圆台的高 为：
计算圆台的体积 根据圆台的体积公式： 将 代入公式中：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：圆台侧面积通式 ；圆台体积通式；等腰梯形轴截面模型。 核心方法：“轴截面化归法”。处理旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的内部高、母线关系时，将其剖切为平面几何图形（矩形、等腰三角形、等腰梯形）进行勾股定理计算是通用方法。 避坑指南：
- 体积公式记忆混淆陷阱：圆台体积公式容易与圆锥体积公式或不规则台体公式记混，特别是括号内的交叉项 容易错记为 。
- 轴截面投影长计算疏忽：在等腰梯形中，单侧直角三角形的底边宽度为 ，而非 之外的错误形式，需要明确其几何几何投影长。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题属于空间几何体面积与体积计算的标准基础大题题型，取材于高中立体几何教材中“圆台的表面积与体积”章节的课后巩固训练题。 结论推广： 对于任意母线长等于下底面直径（即 ）或满足特定比例的圆台，其轴截面和各基本几何量之间存在比例常数关系。 特别地，当圆台的母线长 时（本题中 不满足，本题为 的特殊锥体截断形态），其几何体可以完美切入一个内切球模型。掌握圆台、圆锥与大圆锥的补形相似比（本题中上底与下底半径比为 ，说明该圆台是由一个高度为 的大圆锥从中间高度切去一半所得），利用相似体积比为面积比的 次方，亦可使用 快速实现秒杀。
🔗【关联脉络】
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