1991-三南-21 填-圆台的高与母线

本题导读

本题考查圆台侧面积公式，以及借助轴截面求高的方法。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 已知圆台的上、下底面半径分别为 $r$、$2r$，侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

由侧面积等于底面积之和求母线长，再用轴截面直角三角形求高。

✅【答案】

Success

$\frac{4r}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设母线长 $l$、高 $h$。侧面积 $\pi (r+2r)l=3\pi rl$，两底面积和 $\pi r^2+\pi (2r{)}^2=5\pi r^2$，由题意 $3\pi rl=5\pi r^2$ 得 $l=\frac{5r}{3}$。轴截面给出 $l^2=h^2+(2r-r{)}^2=h^2+r^2$，故 $h^2=\frac{25r^2}{9}-r^2=\frac{16r^2}{9}$，$h>0$，故 $h=\frac{4r}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆台的高与母线

核心方法：侧面积 π(r+2r)l=3πrl，两底面积和 5πr²，得 l=5r/3；轴截面 l²=h²+r²，得 h=4r/3。

避坑指南：圆台侧面积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆台侧面积 S=π(r1+r2)l。

结论推广：圆台轴截面是等腰梯形，母线、高、半径差构成直角三角形。

方法推广：旋转体计算常借助轴截面。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1992-上海-07 填-圆台的侧面积
• 1993-上海-07 填-圆台侧面展开与侧面积
• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积