1992-上海-07 填-圆台的侧面积

本题导读

本题考查圆台的侧面积，以及母线与高的几何关系。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 已知圆台的下底面半径为 $8\mathrm{cm}$，高为 $6\mathrm{cm}$，母线与下底面成 $45^{\circ }$ 的角，那么圆台的侧面积是$\underline{}$ $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$（结果中保留 $\pi$）.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $45^{\circ }$ 角知母线与高、半径差构成等腰直角三角形，母线上底半径可由母线长与半径差确定。

✅【答案】

Success

$60\sqrt{2}\pi$

✍【详细解析】

Abstract

母线 $l=\frac{h}{\sin 45^{\circ }}=\frac{6}{\sqrt{2}/2}=6\sqrt{2}$。设上底半径为 $r$，则 $8-r=l\cos 45^{\circ }=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6$，故 $r=2$。圆台侧面积 $S=\pi (r+8)l=\pi \cdot 10\cdot 6\sqrt{2}=60\sqrt{2}\pi \mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆台的侧面积

核心方法：母线 $l=\frac{6}{\sin 45^{\circ }}=6\sqrt{2}$，$S=\pi (8+r)l=60\sqrt{2}\pi$

避坑指南：圆台侧面积公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆台的侧面积

结论推广：$S=\pi (r_1+r_2)l$

方法推广：侧面积公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1993-上海-07 填-圆台侧面展开与侧面积
• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积
• 1995-全国卷文-17 填-球内接圆台的体积之比