1989-全国卷理-03 单-圆锥的侧面积

本题导读

本题考查圆锥的结构特征，以及圆锥的母线长计算。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 如果圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$，高为 2，那么它的侧面积是 ()

A. $4\sqrt{3}\pi$　　　　　　　　　B. $2\sqrt{2}\pi$　　　　　　　　　C. $2\sqrt{3}\pi$　　　　　　　　　D. $4\sqrt{2}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求母线长： 圆锥的高 $h$、底面半径 $r$ 和母线 $l$ 恰好构成一个直角三角形，其中母线 $l$ 为斜边。利用勾股定理 $l=\sqrt{r^2+h^2}$ 求出 $l$。
2. 计算侧面积： 熟记圆锥侧面积展开图（扇形）的面积公式 $S_{\text{侧}}=\pi rl$，将已知的 $r$ 和求出的 $l$ 代入公式计算即可。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设圆锥的底面半径为 $r=\sqrt{2}$，高为 $h=2$，母线长为 $l$。

根据圆锥的几何性质，高、底面半径和母线构成直角三角形，由勾股定理可得： $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+2^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}$

圆锥的侧面积公式为： $S_{\text{侧}}=\pi rl$

将 $r=\sqrt{2}$ 和 $l=\sqrt{6}$ 代入公式： $S_{\text{侧}}=\pi \times \sqrt{2}\times \sqrt{6}=\pi \times \sqrt{12}=2\sqrt{3}\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 空间旋转体的基本度量计算，圆锥侧面积公式。
2. 核心方法： * 轴截面分析法： 将圆锥问题转化为轴截面（等腰三角形）内的平面几何计算。
3. 避坑指南： * 混淆圆锥的“高”与“母线长”。公式 $S=\pi rl$ 中的 $l$ 必须是侧面斜高（母线），若直接将高 $h=2$ 当作 $l$ 代入公式，会误选为 (D)。
   • 根式化简失误。$\sqrt{2}\times \sqrt{6}=\sqrt{12}$，化简应为 $2\sqrt{3}$，注意系数准确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于空间几何体体积与面积计算的基础题，直接考查立体几何初期的基本公式掌握情况，源于教材对圆锥度量定义的直接应用。
2. 结论推广： 圆锥侧面展开图是一个扇形，该扇形的半径等于圆锥的母线长 $l$，弧长等于圆锥底面圆的周长 $2\pi r$。因此由扇形面积公式 $S=\frac{1}{2}LR$ 可直接推导出通用公式： $S_{\text{侧}}=\frac{1}{2}\cdot (2\pi r)\cdot l=\pi rl$ 只要给定高 $h$ 与底面半径 $r$，侧面积均可统一表达为 $S_{\text{侧}}=\pi r\sqrt{r^2+h^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1991-上海-07 填-圆锥的侧面积
• 1990-全国文-03 单-圆柱的体积与侧面积
• 1992-上海-07 填-圆台的侧面积