1993-新高考文-12 单-圆柱体积的最值

本题导读

本题考查圆柱体积的最值，以及均值不等式的运用。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 圆柱轴截面的周长 $l$ 为定值，那么圆柱体积的最大值是 ()

A. ${\left(\frac{l}{6}\right)}^3\pi$　　　　B. $\frac{1}{9}{\left(\frac{l}{2}\right)}^3\pi$　　　　C. ${\left(\frac{l}{4}\right)}^3\pi$　　　　D. $2{\left(\frac{l}{4}\right)}^3\pi$

🔍【思路分析】

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轴截面周长 $2(h+2r)=l$，即 $h+2r=\frac{l}{2}$；$V=\pi r^{2}h\le \pi {\left(\frac{r+r+h}{3}\right)}^3$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设底面半径 $r$、高 $h$，轴截面周长 $2h+4r=l$，即 $h+2r=\frac{l}{2}$。体积 $V=\pi r^{2}h$。由三元均值不等式 $r+r+h\ge 3\sqrt[3]{r^{2}h}$，即 $r^{2}h\le {\left(\frac{r+r+h}{3}\right)}^3={\left(\frac{h+2r}{3}\right)}^3={\left(\frac{l}{6}\right)}^3$，故 $V\le {\left(\frac{l}{6}\right)}^3\pi$。等号当 $r=h=\frac{l}{6}$ 时成立，故最大值 ${\left(\frac{l}{6}\right)}^3\pi$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱体积的最值

核心方法：$h+2r=\frac{l}{2}$，$V\le (\frac{l}{6}{)}^3\pi$，等号当 $r=h=\frac{l}{6}$

避坑指南：三元均值不等式，验证等号成立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆柱与均值不等式

结论推广：轴截面周长定值时 $V_{\max }=(\frac{l}{6}{)}^3\pi$

方法推广：几何最值优先考虑均值不等式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-12 单-正方形折起的三棱锥体积
• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积
• 2000-大纲文-12 单-圆锥旋转曲面分体积