2000-大纲文-12 单-圆锥旋转曲面分体积

本题导读

本题考查圆锥及旋转体的体积，以及由旋转曲面分体积求母线与轴的夹角。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 如图，$OA$ 是圆锥底面中心 $O$ 到母线的垂线，$OA$ 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为()

A. $\arccos \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$　　B. $\arccos \frac{1}{2}$　　C. $\arccos \frac{1}{\sqrt{2}}$　　D. $\arccos \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $A$ 到轴的距离为 $r$，上部两个共底圆锥的体积为 $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。
2. 由体积相等得 $r=\frac{R}{\sqrt{2}}$。
3. 由相似三角形得 $O{A}^2=rR$，从而 $\cos \theta =\frac{OA}{R}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设圆锥底面半径为 $R$、高为 $h$，顶点为 $P$，底面中心为 $O$，母线与轴（$PO$）的夹角为 $\theta$．设 $A$ 为母线 $PB$（$B$ 为底面圆周上一点）上的点，$OA\perp PB$，过 $A$ 向轴作垂线，垂足为 $C$，则 $AC$ 就是 $A$ 到轴的距离，也是 $OA$ 绕轴旋转所得圆的半径，记 $r=AC$． $OA$ 绕轴旋转一周所得曲面，把圆锥分成两部分：上部是两个共底（底面半径为 $r$）的圆锥，其体积为 $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$；原圆锥体积为 $\frac{1}{3}\pi R^{2}h$．由两部分体积相等，上部体积为原圆锥体积的一半，即 $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{6}\pi R^{2}h$，解得 $r^2=\frac{R^2}{2}$，$r=\frac{R}{\sqrt{2}}$． 又由 $△ABO\sim △CAO$（均为直角三角形且有一个锐角等于 $\theta$），得 $\frac{OA}{R}=\frac{r}{OA}$，即 $O{A}^2=rR=\frac{R^2}{\sqrt{2}}$，故 $OA=\frac{R}{\sqrt[4]{2}}$．于是 $\cos \theta =\frac{OA}{R}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$，母线与轴的夹角为 $\theta =\arccos \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥旋转曲面分体积

核心方法：设底面半径 $R$、高 $h$，$A$ 到轴距离 $r=AC$，上部两个共底圆锥体积 $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\pi R^{2}h$ 得 $r=\frac{R}{\sqrt{2}}$；再由 $△ABO\sim △CAO$ 得 $O{A}^2=rR=\frac{R^2}{\sqrt{2}}$，故 $\cos \theta =\frac{OA}{R}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

避坑指南：体积比定 $r$，相似三角形定 $OA$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆锥与旋转体体积

结论推广：一般地，$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

方法推广：体积比定母线与轴夹角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-08 单-圆锥与半球体积
• 2007-江西文-11 单-旋转体体积新情境应用
• 2004-北京春文-04 单-圆锥母线与底面夹角

专题合集 (Series)