1999-广东-10 单-多面体体积的分割

本题导读

本题考查多面体的体积，以及等积变换后分割为棱锥求和的方法。

📌【题干】

Question

（1999年广东卷） 如图，在多面体 $ABCDEF$ 中，已知面 $ABCD$ 是边长为 $3$ 的正方形，$EF\parallel AB$，$EF=\frac{3}{2}$，$EF$ 与面 $AC$ 的距离为 $2$，则该多面体的体积为()

A. $\frac{9}{2}$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $\frac{15}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 作等积变换，令 $E$ 在 $D$ 的正上方且 $ED\perp$ 底面。
2. 把多面体分成四棱锥 $F-ABCD$ 与三棱锥 $F-ADE$ 分别求积。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由题设距离条件知，上棱 $EF$ 所在的平面与底面 $ABCD$ 的距离为 $2$。该多面体在与底面平行的任一高度处的截面由底面正方形和上棱的相应缩短线段合成，截面面积与上棱的水平位置无关，故可作等积变换，令 $E$ 在 $D$ 的正上方且 $ED\perp$ 平面 $ABCD$，$ED=2$。此时多面体可按公共面 $FAD$ 分成四棱锥 $F-ABCD$ 与三棱锥 $F-ADE$。四棱锥 $F-ABCD$ 的高为 $2$，体积 $V_{F-ABCD}=\frac{1}{3}\cdot 3^2\cdot 2=6$。又 $AB\perp AD$、$AB\perp ED$，故 $AB\perp$ 平面 $ADE$，从而 $EF\perp$ 平面 $ADE$；$△ADE$ 是直角三角形，$S_{△ADE}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot ED=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$，因此三棱锥 $F-ADE$ 的高为 $EF=\frac{3}{2}$，体积 $V_{F-ADE}=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。所以多面体体积 $V=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：多面体体积的分割

核心方法：等积变换令 $E$ 在 $D$ 正上方 $ED=2$，分成四棱锥 $F-ABCD$（体积 $6$）与三棱锥 $F-ADE$（体积 $\frac{3}{2}$），合计 $\frac{15}{2}$，选 D

避坑指南：等积变换后分割求积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材多面体的体积

结论推广：一般地，等积变换后分割为棱锥求积

方法推广：等积变换分割求积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I文-04 单-多面体体积分割
• 2000-大纲文-12 单-圆锥旋转曲面分体积
• 2025-北京卷-14 填-多面体体积