1988-上海-23 解-等体积求高

本题导读

本题考查圆锥与圆柱等体积求液面高度。核心在于用体积相等列方程。

📌【题干】

Question

（1988年上海卷） 一个圆锥容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图.两容器内盛有的液体的体积正好相等，且液面高度 $h$ 正好相同.求 $h$.

🔍【思路分析】

破题导航

圆锥液面半径 $r=h$，圆柱半径 $\frac{a}{2}$，由体积相等求 $h$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{3}}{2}a$

✍【详细解析】

Abstract

圆锥轴截面底角 $45°$，液面半径 $r=h$，圆锥内液体体积 $V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi }{3}{h}^3$。圆柱内液体体积 $V_{\text{柱}}=\pi (\frac{a}{2}{)}^{2}h=\frac{\pi a^{2}h}{4}$。由 $V_{\text{锥}}=V_{\text{柱}}$ 得 $\frac{\pi }{3}{h}^3=\frac{\pi a^{2}h}{4}$，$h^2=\frac{3a^2}{4}$，$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等体积求高

核心方法：圆锥与圆柱等体积等高求高。

避坑指南：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等体积。

结论推广：圆锥圆柱。

方法推广：求高。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1991-上海-27 解-旋转体的体积与最值
• 1995-上海文-20A 填-圆锥容器的体积
• 1993-新高考文-12 单-圆柱体积的最值