1987-上海-26 解-三棱锥中的距离与角

本题导读

本题考查正三棱锥的距离与角，核心在于 $SA=SB=SC$ 时顶点在底面射影为外心。

📌【题干】

Question

（1987年上海卷） 设三棱锥 $S-ABC$ 的底面为等腰直角三角形，已知该直角三角形的斜边 $AC$ 长为 $10$，三棱锥的侧棱 $SA=SB=SC=13$.求：(1)顶点 $S$ 到底面的距离；(2)侧棱 $SB$ 与底面所成角的大小（用反三角函数表示）；(3)二面角 $A-SB-C$ 的大小（用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

顶点射影 $O$ 为斜边 $AC$ 中点，勾股求高，再求线面角、二面角。

✅【答案】

Success

(1)$12$；(2)$\arcsin \frac{12}{13}$；(3)$2\arctan \frac{13}{12}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$SA=SB=SC$，顶点射影 $O$ 是 $△ABC$ 外心，即斜边 $AC$ 中点，$AO=5$。故 $SO=\sqrt{13^2-5^2}=12$。（2）$SB$ 与底面所成角 $\alpha$ 满足 $\sin \alpha =\frac{SO}{SB}=\frac{12}{13}$，$\alpha =\arcsin \frac{12}{13}$。（3）二面角 $A-SB-C$ 大小为 $2\arctan \frac{13}{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥中的距离与角

核心方法：三棱锥 $SA=SB=SC$，顶点在底面射影为外心（斜边中点），勾股求高。

避坑指南：$SO=12$，$\sin \alpha =\frac{12}{13}$，二面角 $2\arctan \frac{13}{12}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三棱锥性质。

结论推广：$SA=SB=SC$ 时顶点射影为外心。

方法推广：勾股定理求高与角。

🔗【关联脉络】

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