1994-全国卷文-07 单-棱台的体积

本题导读

本题考查正六棱台的体积，以及棱台体积公式的应用。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 已知正六棱台的上、下底面边长分别为 $2$ 和 $4$，高为 $2$，则其体积为 ()

A.$32\sqrt{3}$　　B.$28\sqrt{3}$　　C.$24\sqrt{3}$　　D.$20\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求上下底面正六边形的面积。
2. 用棱台体积公式。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

正六边形面积 $=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$。上底面（边长 2）面积 $S_{上}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 4=6\sqrt{3}$；下底面（边长 4）面积 $S_{下}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 16=24\sqrt{3}$。棱台体积 $V=\frac{1}{3}h(S_{上}+S_{下}+\sqrt{S_{上}{S}_{下}})=\frac{1}{3}\times 2\times (6\sqrt{3}+24\sqrt{3}+\sqrt{6\sqrt{3}\cdot 24\sqrt{3}})=\frac{2}{3}\times (30\sqrt{3}+12\sqrt{3})=28\sqrt{3}$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棱台的体积

核心方法：正六棱台体积 $V=\frac{1}{3}h(S_{上}+S_{下}+\sqrt{S_{上}{S}_{下}})=\frac{1}{3}\times 2(6\sqrt{3}+24\sqrt{3}+\sqrt{6\sqrt{3}\cdot 24\sqrt{3}})=28\sqrt{3}$，选 B

避坑指南：棱台体积公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材棱台的体积

结论推广：一般地，用棱台体积公式

方法推广：棱台体积公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积
• 1996-全国卷文-12 单-正方形折起的三棱锥体积
• 1995-全国卷文-17 填-球内接圆台的体积之比