1997-上海理-15A 填-圆柱体积与水面下降

本题导读

本题考查圆柱体积与水面下降，以及体积相等的转化。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） （选做题，A 组与 B 组二选一）圆柱形容器的内壁底半径为 $5\mathrm{cm}$，两个直径为 $5\mathrm{cm}$ 的玻璃小球都浸没于容器的水中.若取出这两个小球，则容器内的水面将下降　$\underline{}$ $\mathrm{cm}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求两个小球的体积。
2. 除以容器底面积得下降高度。

✅【答案】

Success

$\frac{5}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

小球的半径为 $\frac{5}{2}\mathrm{cm}$，两球体积为 $2\times \frac{4}{3}\pi {\left(\frac{5}{2}\right)}^3=\frac{125\pi }{3}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$。容器底面积为 $\pi \cdot 5^2=25\pi \mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$，故水面下降 $\frac{125\pi /3}{25\pi }=\frac{5}{3}\mathrm{cm}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱体积与水面下降

核心方法：两球体积 $2\times \frac{4}{3}\pi (\frac{5}{2}{)}^3$，除以容器底面积 $\pi \cdot 5^2$ 得下降 $\frac{2\times \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{125}{8}}{25\pi }=\frac{5}{3}$

避坑指南：体积差除以底面积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆柱

结论推广：一般地，下降高度 $=\frac{\text{体积}}{\text{底面积}}$

方法推广：体积差除以底面积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-07 单-圆柱与倒圆锥的体积
• 1998-上海理-05 填-正四面体的体积
• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积