1994-全国卷理-07 单-正六棱台的体积

本题导读

本题考查正六边形的面积计算，以及棱台的体积公式。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则其体积为 ()

A. $32\sqrt{3}$　　　　　　B. $28\sqrt{3}$　　　　　　C. $24\sqrt{3}$　　　　　　D. $20\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

求底面积：正六棱台的上、下底面均为正六边形。边长为 $a$ 的正六边形可看作由 6 个边长为 $a$ 的正三角形拼成。分别求出上底面积 $S^{\prime }$ 和下底面积 $S$。 运用体积公式：将上底面积 $S^{\prime }$、下底面积 $S$ 以及高 $h=2$ 代入棱台体积公式 $V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+S^{\prime })$ 进行计算。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

边长为 $a$ 的正三角形面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$，故边长为 $a$ 的正六边形面积为 $6\times \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$。

1. 计算上底面积 $S^{\prime }$： 上底面边长为 $2$，则： $S^{\prime }=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 2^2=6\sqrt{3}$

2. 计算下底面积 $S$： 下底面边长为 $4$，则： $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 4^2=24\sqrt{3}$

3. 计算体积 $V$： 已知高 $h=2$，代入棱台体积公式： $V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+S^{\prime })$ $V=\frac{1}{3}\times 2\times \left(24\sqrt{3}+\sqrt{24\sqrt{3}\times 6\sqrt{3}}+6\sqrt{3}\right)$ $V=\frac{2}{3}\times \left(30\sqrt{3}+\sqrt{144\times 3}\right)$ $V=\frac{2}{3}\times \left(30\sqrt{3}+12\sqrt{3}\right)$ $V=\frac{2}{3}\times 42\sqrt{3}=28\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棱台的体积公式 $V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+S^{\prime })$。 核心方法：熟练将正多边形拆解为基础三角形进行面积求解。 避坑指南：

• 容易误记棱台体积公式，混淆中间项为 $2\sqrt{S{S}^{\prime }}$ 或直接漏掉中间项 $\sqrt{S{S}^{\prime }}$。
• 根号下进行多项式相乘时（如 $\sqrt{24\sqrt{3}\times 6\sqrt{3}}$），注意开方开彻底，避免计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于立体几何中空间几何体三维度量的标准考查题，直接源自教材中对柱、锥、台体积公式应用的基本训练。 结论推广：棱台体积公式是由大棱锥体积减去小棱锥体积推导而来。若上底面与下底面的相似比为 $k$（本题 $k=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$），则面积比 $\frac{S^{\prime }}{S}=k^2$，体积公式也可变形为更便于化简的： $V=\frac{1}{3}hS(1+k+k^2)$ 代入数据：$V=\frac{1}{3}\times 2\times 24\sqrt{3}\times \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=16\sqrt{3}\times \frac{7}{4}=28\sqrt{3}$。运用相似比进行化简可有效提升运算速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-12 单-圆台的体积
• 1996-全国卷文-12 单-正方形折起的三棱锥体积
• 1995-全国卷文-17 填-球内接圆台的体积之比