2006-四川文-04 单-向量数量积比较

本题导读

本题考查向量，以及数量积。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 如图，已知正六边形 $P_1{P}_2{P}_3{P}_4{P}_5{P}_6$，下列向量的数量积中最大的是()

A. $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_3}$　　　B. $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_4}$　　　C. $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_5}$　　　D. $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_6}$

🔍【思路分析】

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1. 设正六边形边长为 $a$，则 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 与各对角线 $\overrightarrow{P_1{P}_i}$ 的夹角分别为：$P_3$ 处 $30^{\circ }$，$P_4$ 处 $60^{\circ }$，$P_5$ 处 $90^{\circ }$，$P_6$ 处 $120^{\circ }$。
2. 数量积 $=|\overrightarrow{P_1{P}_2}|\cdot |\overrightarrow{P_1{P}_i}|\cos \theta$。
3. $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_3}=a\cdot \sqrt{3}a\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{3}{2}{a}^2$ 最大；$\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_6}=a\cdot a\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}{a}^2$ 为负。
4. 最大的是（A）。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设正六边形边长为 $a$，则 $|\overrightarrow{P_1{P}_2}|=a$，且 $|\overrightarrow{P_1{P}_3}|=\sqrt{3}a,|\overrightarrow{P_1{P}_4}|=2a,|\overrightarrow{P_1{P}_5}|=\sqrt{3}a,|\overrightarrow{P_1{P}_6}|=a.$ 各向量与 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 的夹角依次为 $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ },120^{\circ }$．于是 $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_3}=a\cdot \sqrt{3}a\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{3}{2}{a}^2,$ $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_4}=a\cdot 2a\cdot \cos 60^{\circ }=a^2,$ $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_5}=a\cdot \sqrt{3}a\cdot \cos 90^{\circ }=0,$ $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_6}=a\cdot a\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}{a}^2.$ 故最大的是 $\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot \overrightarrow{P_1{P}_3}$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积比较

核心方法：四个选项有公共前项 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$，数量积 $=$ 公共项的长 $\times$ 后项在公共项上的投影，故只需比投影大小；也可用夹角余弦逐项算，两条路给出同一结论

避坑指南：①公共前项相同时，比数量积就是比投影，但投影可以取负——$\overrightarrow{P_1{P}_6}$ 的投影落在 $P_1$ 的反侧，数量积是 $-\frac{1}{2}{a}^2$，不是四项里最小的”正数”；②”数量积越大夹角越小”只在模都不变时成立，本题四个后项的模并不相等（$\sqrt{3}a$、$2a$、$\sqrt{3}a$、$a$），必须模与余弦一起看；③最大项与最小项不是同一条对角线上的两个，别靠对称性猜

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 向量数量积 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|a||b|\cos \theta$

结论推广: 正多边形中向量的模与夹角可由对称性确定

方法推广: 建系或几何对称法均可，比较数量积看夹角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-11 填-向量数量积定义
• 2008-江苏卷-05 填-向量模长夹角
• 2008-新课标Ⅰ文-05 单-向量垂直求参
• 2008-上海卷文-05 填-向量和的模