2004-重庆理-06 单-平面向量的数量积运算

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算，以及向量的模与数量积的关系。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 若向量 $\vec{\mathbf{a}}$ 与 $\vec{\mathbf{b}}$ 的夹角为 60°， $|\vec{\mathbf{b}}|=4$， $(\vec{\mathbf{a}}+2\vec{\mathbf{b}})\cdot (\vec{\mathbf{a}}-3\vec{\mathbf{b}})=-72$，则向量 $\vec{\mathbf{a}}$ 的模为 ()

A. 2　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 12

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开目标数量积多项式：利用平面向量数量积的分配律，将已知等式 $(\vec{\mathbf{a}}+2\vec{\mathbf{b}})\cdot (\vec{\mathbf{a}}-3\vec{\mathbf{b}})=-72$ 进行多项式展开，化为包含 ${\vec{\mathbf{a}}}^2$、 $\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}$ 以及 ${\vec{\mathbf{b}}}^2$ 的代数式。
2. 代入基本特征量：利用恒等式 ${\vec{\mathbf{a}}}^2=|\vec{\mathbf{a}}{|}^2$ 和 ${\vec{\mathbf{b}}}^2=|\vec{\mathbf{b}}{|}^2=4^2=16$，以及夹角定义式 $\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=|\vec{\mathbf{a}}|\cdot |\vec{\mathbf{b}}|\cdot \cos 60^{\circ }$。
3. 解一元二次方程：将上述已知数值回代展开式，即可构筑出一个以未知模长 $|\vec{\mathbf{a}}|$ 为自变量的标准一元二次方程，解出正实数根即为最终答案。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

首先根据平面向量数量积的几何定义，计算两基准向量的数量积表达式： $\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=|\vec{\mathbf{a}}|\cdot |\vec{\mathbf{b}}|\cdot \cos 60^{\circ }$ 已知 $|\vec{\mathbf{b}}|=4,\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，代入得： $\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=|\vec{\mathbf{a}}|\times 4\times \frac{1}{2}=2|\vec{\mathbf{a}}|\text{（式1）}$

再根据向量自身的数量积等于其模长的平方，计算 ${\vec{\mathbf{b}}}^2$： ${\vec{\mathbf{b}}}^2=|\vec{\mathbf{b}}{|}^2=4^2=16\text{（式2）}$

对题目给出的多项式数量积等式应用分配律实施展开： $(\vec{\mathbf{a}}+2\vec{\mathbf{b}})\cdot (\vec{\mathbf{a}}-3\vec{\mathbf{b}})=-72$ ${\vec{\mathbf{a}}}^2-3\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}+2\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}-6{\vec{\mathbf{b}}}^2=-72$ 合并同类项进行简化： $|\vec{\mathbf{a}}{|}^2-\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}-6|\vec{\mathbf{b}}{|}^2=-72$

将（式1）和（式2）的化简结果作为代数分量代入上式中： $|\vec{\mathbf{a}}{|}^2-2|\vec{\mathbf{a}}|-6\times 16=-72$ $|\vec{\mathbf{a}}{|}^2-2|\vec{\mathbf{a}}|-96=-72$ 将常数项移项合并，使等号右侧为 0，构筑关于 $|\vec{\mathbf{a}}|$ 的标准一元二次方程： $|\vec{\mathbf{a}}{|}^2-2|\vec{\mathbf{a}}|-24=0$

对左端多项式采用十字相乘法进行因式分解： $(|\vec{\mathbf{a}}|-6)(|\vec{\mathbf{a}}|+4)=0$ 解得两个代数根： $|\vec{\mathbf{a}}|=6\text{或}|\vec{\mathbf{a}}|=-4$

因为几何向量的模长（长度）在非退化欧氏空间中必须恒大于或等于 0，所以负根 $-4$ 必须自动被舍去。 因此，向量 $\vec{\mathbf{a}}$ 的模为 6。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积满足的代数分配律规则；模长平方同解变形 ${\vec{\mathbf{v}}}^2=|\vec{\mathbf{v}}{|}^2$ ；数量积与其内角余弦的联袂控算。
2. 核心方法：多项式齐次代数展开法、一元二次方程因式分解法。
3. 避坑指南：
   • 错将向量积当做普通代数积展开：部分学生将中间项展开错记成类似 $(x+2)(x-3)$ 的标量混合，务必注意向量之间相乘必须写成点乘 $\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}$，且不能把交叉项的向量符号漏掉。
   • 方程双根未根据几何意义剔除：在解得 $|\vec{\mathbf{a}}|=6$ 和 $-4$ 后，必须建立“模长非负”的硬性条件反射，直接删掉不合物理实际的负数，防止发生笔误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查平面向量基本运算（内积代数式系统）的大纲经典选择题第六题，属于中低难度常规题。
2. 结论推广: 向量的线性组合作数量积，可按分配律展开：$(\alpha \vec{a}+\beta \vec{b})\cdot (\gamma \vec{a}+\delta \vec{b})=\alpha \gamma |\vec{a}{|}^2+(\alpha \delta +\beta \gamma )\vec{a}\cdot \vec{b}+\beta \delta |\vec{b}{|}^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值
• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比