2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值

本题导读

本题考查向量的数量积与三角函数最值。核心在于数量积坐标化、三角求最值。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 设向量 $a=(\sin x,\cos x)$，$b=(\cos x,\cos x)$，$x\in \mathbb{R}$，函数 $f(x)=a\cdot (a+b)$． （1）求函数 $f(x)$ 的最大值与最小正周期； （2）求使不等式 $f(x)⩾\frac{3}{2}$ 成立的 $x$ 的取值集合。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a+b=(\sin x+\cos x,2\cos x)$。
2. $f(x)=a\cdot (a+b)=\sin x(\sin x+\cos x)+\cos x\cdot 2\cos x={\sin }^{2}x+\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x$。
3. 用 ${\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x=1+{\cos }^{2}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x$，$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$，得 $f(x)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}(\sin 2x+\cos 2x)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。
4. 最大值 $\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小正周期 $\frac{2\pi }{2}=\pi$。
5. 解 $f(x)⩾\frac{3}{2}$ 即 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)⩾0$，得 $2k\pi ⩽2x+\frac{\pi }{4}⩽2k\pi +\pi$。

✅【答案】

Success

(1)最大值 $\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小正周期 $\pi$

(2)$\left\{x\mid k\pi -\frac{\pi }{8}⩽x⩽k\pi +\frac{3\pi }{8},k\in \mathbb{Z}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$a+b=(\sin x+\cos x,2\cos x)$，故 $f(x)=a\cdot (a+b)=\sin x(\sin x+\cos x)+\cos x\cdot 2\cos x$ $={\sin }^{2}x+\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x=1+{\cos }^{2}x+\sin x\cos x$ $=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right).$ 所以 $f(x)$ 的最大值为 $\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$．

（2）$f(x)⩾\frac{3}{2}$ 等价于 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)⩾0$， 即 $2k\pi ⩽2x+\frac{\pi }{4}⩽2k\pi +\pi (k\in \mathbb{Z})$， 解得 $k\pi -\frac{\pi }{8}⩽x⩽k\pi +\frac{3\pi }{8}$， 故 $x$ 的取值集合为 $\left\{x\mid k\pi -\frac{\pi }{8}⩽x⩽k\pi +\frac{3\pi }{8},k\in \mathbb{Z}\right\}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积三角最值

核心方法：$f(x)=a\cdot (a+b)={\sin }^{2}x+\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (2x+\pi /4)$

避坑指南：化单一角函数后，最大值 $\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$、周期 $\pi$；解不等式用正弦非负区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 向量数量积三角最值，向量与三角综合

结论推广: 辅助角公式化单一角函数求最值与周期

方法推广: 向量数量积展开后是三角式，用辅助角公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-17 解-三角化简值域
• 2009-江西卷文-19 解-解三角形与向量
• 2014-四川卷文-14 填-向量夹角相等
• 2015-天津卷文-13 填-向量数量积