2003-全国卷理-18 解-直三棱柱的几何性质

本题导读

本题考查利用空间向量求线面角与点面距离。关键是由直三棱柱的垂直关系和射影条件确定底面等腰直角三角形的边长，再建系、坐标化，用法向量求解。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，底面是等腰直角三角形， $\angle ACB=90^{\circ }$，侧棱 $A{A}_1=2$，$D、E$ 分别是 $C{C}_1$ 与 $A_{1}B$ 的中点，点 $E$ 在平面 $ABD$ 上的射影是 $△ABD$ 的重心 $G$.

(1) 求 $A_{1}B$ 与平面 $ABD$ 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

(2) 求点 $A_1$ 到平面 $AED$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定性分析与确定底面边长：
   • 设 $CA=CB=m$。以 $C$ 为原点， $CA,CB,C{C}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 写出 $A,B,D,E$ 各点含 $m$ 的坐标，并求得 $△ABD$ 的重心 $G$ 坐标。
   • 利用“ $EG\perp \text{平面 }ABD$ ”这一条件，得到 $\overrightarrow{EG}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ 或 $\overrightarrow{EG}\cdot \overrightarrow{AD}=0$，从而解出底面边长 $m$。
2. 第一问：求线面角：
   • 求出平面 $ABD$ 的法向量 ${\vec{n}}_1$。
   • 计算直线 $A_{1}B$ 的方向向量与法向量 ${\vec{n}}_1$ 夹角的余弦值，进而通过正弦关系求得线面角。
3. 第二问：求点到平面的距离：

   • 求出平面 $AED$ 的法向量 ${\vec{n}}_2$。

   • 利用点面距离公式 $d=\frac{\left|\overrightarrow{A{A}_1}\cdot {\vec{n}}_2\right|}{|{\vec{n}}_2|}$ 计算出结果。

✅【答案】

Success

(1) $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$

(2) $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $\angle ACB=90^{\circ }$，故 $CA\perp CB$。由于侧棱垂直于底面， $C{C}_1\perp CA$ 且 $C{C}_1\perp CB$。 以 $C$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{C{C}_1}$ 的方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。

设等腰直角三角形的腰长 $CA=CB=m(m>0)$。 由已知 $A{A}_1=2$，且 $D,E$ 分别为 $C{C}_1,A_{1}B$ 的中点，各关键顶点坐标为： $C(0,0,0),A(m,0,0),B(0,m,0),A_1(m,0,2),B_1(0,m,2),D(0,0,1)$ 由于 $E$ 是 $A_{1}B$ 的中点，由中点坐标公式得： $E\left(\frac{m}{2},\frac{m}{2},1\right)$

已知 $G$ 是 $△ABD$ 的重心，其坐标为 $△ABD$ 三个顶点坐标的算术平均值： $G\left(\frac{m+0+0}{3},\frac{0+m+0}{3},\frac{0+0+1}{3}\right)⟹G\left(\frac{m}{3},\frac{m}{3},\frac{1}{3}\right)$

由坐标减法求出向量 $\overrightarrow{EG}$ 与平面 $ABD$ 内的两向量： $\overrightarrow{EG}=\left(\frac{m}{3}-\frac{m}{2},\frac{m}{3}-\frac{m}{2},\frac{1}{3}-1\right)=\left(-\frac{m}{6},-\frac{m}{6},-\frac{2}{3}\right)$ $\overrightarrow{AB}=(-m,m,0),\overrightarrow{AD}=(-m,0,1)$

因为点 $E$ 在平面 $ABD$ 上的射影是 $G$，所以 $EG\perp \text{平面 }ABD$。 则必满足 $\overrightarrow{EG}\cdot \overrightarrow{AD}=0$： $\left(-\frac{m}{6}\right)\cdot (-m)+\left(-\frac{m}{6}\right)\cdot 0+\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot 1=0$ $\frac{m^2}{6}-\frac{2}{3}=0⟹m^2=4⟹m=2(\text{因 }m>0)$

将 $m=2$ 代入各点，得： $A(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1),A_1(2,0,2),E(1,1,1),\overrightarrow{EG}=\left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)$ 此时平面 $ABD$ 的一个法向量可取为 ${\vec{n}}_1=(1,1,2)$。

(1) 求 $A_{1}B$ 与平面 $ABD$ 所成角的大小

求出直线 $A_{1}B$ 的方向向量： $\overrightarrow{A_{1}B}=(0-2,2-0,0-2)=(-2,2,-2)$

设直线 $A_{1}B$ 与平面 $ABD$ 所成的角为 $\theta$，根据线面角向量计算公式： $\sin \theta =\left|\cos ⟨\overrightarrow{A_{1}B},{\vec{n}}_1⟩\right|=\frac{\left|\overrightarrow{A_{1}B}\cdot {\vec{n}}_1\right|}{\left|\overrightarrow{A_{1}B}\right|\cdot |{\vec{n}}_1|}$ $\left|\overrightarrow{A_{1}B}\cdot {\vec{n}}_1\right|=|(-2)\times 1+2\times 1+(-2)\times 2|=|-2+2-4|=4$ $\left|\overrightarrow{A_{1}B}\right|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ $\left|{\vec{n}}_1\right|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}$

代入求值： $\sin \theta =\frac{4}{2\sqrt{3}\times \sqrt{6}}=\frac{4}{6\sqrt{2}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

由于线面角 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，用反三角函数值表示为： $\theta =\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$

答： $A_{1}B$ 与平面 $ABD$ 所成角的大小为 $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$。

(2) 求点 $A_1$ 到平面 $AED$ 的距离

求平面 $AED$ 内的两个基底向量： $\overrightarrow{AD}=(-2,0,1),\overrightarrow{AE}=(1-2,1-0,1-0)=(-1,1,1)$

设平面 $AED$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$，由正交性建立方程组： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AD}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{AE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-2x+z=0\\ -x+y+z=0\end{array}$ 令 $x=1$，由第一式得 $z=2$；代入第二式得 $y=x-z=1-2=-1$。 故平面 $AED$ 的一个法向量为： ${\vec{n}}_2=(1,-1,2)$

求出点 $A$ 到点 $A_1$ 的向量： $\overrightarrow{A{A}_1}=(2-2,0-0,2-0)=(0,0,2)$

根据点到平面的距离公式，点 $A_1$ 到平面 $AED$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{\left|\overrightarrow{A{A}_1}\cdot {\vec{n}}_2\right|}{|{\vec{n}}_2|}=\frac{|0\times 1+0\times (-1)+2\times 2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

答：点 $A_1$ 到平面 $AED$ 的距离为 $\frac{2\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直三棱柱的建系，利用线面垂直条件求几何量，线面角的正弦向量公式，点到平面的距离公式。
2. 核心方法：空间向量法。
3. 避坑指南：

   • 确定底面腰长 $m$ 时，重心的坐标计算公式切勿记错。 $△ABD$ 不含坐标原点 $C$，重心的横纵坐标是 $A,B,D$ 三点对应坐标相加除以 3。

   • 在第一问中，利用向量夹角公式算出的是法向量与线向量的夹角余弦值 $\cos ⟨\vec{u},\vec{n}⟩$，其几何上对应线面角的正弦值（ $\sin \theta$），切勿将结果直接作为 $\cos \theta$ 导致反三角函数名称写错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是立体几何中综合考查直三棱柱、射影、重心与空间向量的解答题。
2. 结论推广: 在空间直角坐标系中，设平面 $\pi$ 的法向量为 $\vec{n}=(A,B,C)$，点 $M(x_1,y_1,z_1)$，$N(x_2,y_2,z_2)$。则点 $M$ 到过点 $N$ 且法向量为 $\vec{n}$ 的平面的距离为 $d=\frac{|A(x_1-x_2)+B(y_1-y_2)+C(z_1-z_2)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ 该公式直接由向量坐标求出距离。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值
• 1989-广东文-32 解-线面角与距离