2002-上海卷理-17 解-直三棱柱的几何性质

本题导读

本题考查直三棱柱中的线面角求解。核心意图在于测试学生利用两两垂直的几何边长关系建立空间直角坐标系，将线线垂直条件转化为向量数量积方程求出动点坐标，并利用向量夹角公式计算线面角的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 如图，在直三棱柱 $ABO-A^{\prime }{B}^{\prime }{O}^{\prime }$ 中， $O{O}^{\prime }=4$， $OA=4$， $OB=3$， $\angle AOB=90^{\circ }$， $D$ 是线段 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 的中点， $P$ 是侧棱 $B{\text{B}}^{\prime }$ 上的一点，若 $OP\perp BD$，求 $OP$ 与底面 $AOB$ 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（建系立标）：由 $\angle AOB=90^{\circ }$ 且三棱柱为直三棱柱可知， $OA,OB,O{O}^{\prime }$ 两两互相垂直。以 $O$ 为原点， $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ 的方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系，并写出各顶点及中点 $D$ 的坐标。
2. 第二步（代数消元确定动点）：设动点 $P$ 的坐标为 $(0,3,z)$，其中 $z\in [0,4]$。利用已知垂直条件 $OP\perp BD⟺\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ 建立关于 $z$ 的一元一次方程，解出点 $P$ 的精确坐标。
3. 第三步（计算线面角）：底面 $AOB$ 位于 $xOy$ 平面上，其法向量可取为 $\vec{n}=(0,0,1)$。计算 $\overrightarrow{OP}$ 与法向量 $\vec{n}$ 夹角的余弦值，进而通过诱导公式求出线面角的正弦值或直接用反三角函数表示。

✅【答案】

Success

$\arctan \frac{3}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

因为在直三棱柱 $ABO-A^{\prime }{B}^{\prime }{O}^{\prime }$ 中， $\angle AOB=90^{\circ }$， 所以 $OA\perp OB$， 且侧棱 $O{O}^{\prime }\perp$ 底面 $AOB$，故 $O{O}^{\prime }\perp OA,O{O}^{\prime }\perp OB$。 由此可知 $OA,OB,O{O}^{\prime }$ 两两互相垂直。

以 $O$ 为坐标原点， $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ 的方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 根据已知边长 $O{O}^{\prime }=4,OA=4,OB=3$，可得相关顶点的坐标为： $O(0,0,0),A(4,0,0),B(0,3,0)$ $A^{\prime }(4,0,4),B^{\prime }(0,3,4),O^{\prime }(0,0,4)$

第一步：求出点 $D$ 和点 $P$ 的向量表示 因为 $D$ 是线段 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 的中点，利用中点坐标公式可得： $D\left(\frac{4+0}{2},\frac{0+3}{2},\frac{4+4}{2}\right)=\left(2,\frac{3}{2},4\right)$

因为点 $P$ 在侧棱 $B{B}^{\prime }$ 上，设 $P(0,3,z)$，其中 $z\in [0,4]$。 分别写出向量 $\overrightarrow{OP}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 的坐标表示： $\overrightarrow{OP}=(0,3,z)$ $\overrightarrow{BD}=\left(2-0,\frac{3}{2}-3,4-0\right)=\left(2,-\frac{3}{2},4\right)$

第二步：利用垂直关系求出点 $P$ 的坐标 已知 $OP\perp BD$，则它们的方向向量数量积为 0： $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ $0\times 2+3\times \left(-\frac{3}{2}\right)+z\times 4=0$ $-\frac{9}{2}+4z=0⟹4z=\frac{9}{2}⟹z=\frac{9}{8}$ 由于 $\frac{9}{8}\in [0,4]$，符合题意。此时： $\overrightarrow{OP}=\left(0,3,\frac{9}{8}\right)$

第三步：计算 $OP$ 与底面 $AOB$ 所成的角 底面 $AOB$ 位于 $xOy$ 坐标平面内，其法向量可设为 $\vec{n}=(0,0,1)$。 设 $OP$ 与底面 $AOB$ 所成的角为 $\theta$（$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$），则： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{OP},\vec{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{OP}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{OP}|\cdot |\vec{n}|}$

计算分子与分母的模长： $\overrightarrow{OP}\cdot \vec{n}=0\times 0+3\times 0+\frac{9}{8}\times 1=\frac{9}{8}$ $|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{0^2+3^2+{\left(\frac{9}{8}\right)}^2}=\sqrt{9+\frac{81}{64}}=\sqrt{\frac{576+81}{64}}=\sqrt{\frac{657}{64}}=\frac{3\sqrt{73}}{8}$ $|\vec{n}|=1$

代入正弦公式： $\sin \theta =\frac{\frac{9}{8}}{\frac{3\sqrt{73}}{8}\times 1}=\frac{9}{3\sqrt{73}}=\frac{3}{\sqrt{73}}=\frac{3\sqrt{73}}{73}$

因此， $OP$ 与底面 $AOB$ 所成角的大小为： $\theta =\arcsin \frac{3\sqrt{73}}{73}\left(\text{或 }\arctan \frac{3}{8}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系下未知点参数的几何方程锁定；线面角与法向量的几何投影转化。
2. 核心方法：坐标向量法。
3. 避坑指南：

• 反三角表达符号选择陷阱：利用法向量求出来的直接三角函数是 $\sin \theta$，如果转换成正切 $\tan \theta =\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{9/8}{3}=\frac{3}{8}$。用主值区间表示时，写成 $\arcsin \frac{3}{\sqrt{73}}$ 或 $\arctan \frac{3}{8}$ 均正确，但须注意根式有理化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为标准的空间解析几何基础大题，考查内容避开了复杂的传统几何辅助线构造（如三垂线定理找射影），体现了坐标法在解决含动点线线垂直问题中的代数计算优势。
2. 结论推广： 对于所有在直交网格系中，一条直线上动点 $P(0,y_0,z)$ 的投影角问题，其与水平基面的夹角正切值恒等于该点的竖向坐标与平面投影距离的比值： $\tan \theta =\frac{z_P}{\sqrt{x_P^2+y_P^2}}$。通过将几何垂直关系转化为一元代数方程，可以将所有类似动态三棱柱、四棱锥的空间夹角问题，归结为标准的分式代数式求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-湖南文-02 单-向量平行与垂直定参
• 2003-全国卷理-18 解-直三棱柱的几何性质