2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比

本题导读

本题考查向量，以及向量垂直。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 已知非零向量 $a$，$b$，若 $a+2b$ 与 $a-2b$ 互相垂直，则 $\frac{|a|}{|b|}=$()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 垂直 $\Rightarrow$ 数量积为零：$(a+2b)\cdot (a-2b)=0$。
2. 展开 $|a{|}^2-4|b{|}^2=0$（交叉项 $a\cdot b$ 抵消）。
3. $|a{|}^2=4|b{|}^2$，两边开方得 $\frac{|a|}{|b|}=2$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $a+2b\perp a-2b$ 得 $(a+2b)\cdot (a-2b)=0$， 展开：$a\cdot a-2a\cdot b+2b\cdot a-4b\cdot b=|a{|}^2-4|b{|}^2=0$， 即 $|a{|}^2=4|b{|}^2$，两边开平方（模非负）得 $|a|=2|b|$，故 $\frac{|a|}{|b|}=2$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直定模比

核心方法：$(a+2b)\perp (a-2b)\Rightarrow (a+2b)\cdot (a-2b)=0$，即 $|a{|}^2=4|b{|}^2$

避坑指南：垂直等价数量积为零；展开后 $a\cdot b$ 项抵消，$|a|/|b|=2$ 不是 $4$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 向量垂直与模比，向量小题常规考法

结论推广: 垂直 ⟺ 数量积为 $0$；$|a{|}^2=4|b{|}^2$

方法推广: 向量垂直先写数量积为零，再整体平方求模比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁文-04 单-向量模与夹角
• 2014-新课标Ⅱ文-04 单-向量数量积
• 2011-安徽卷文-14 填-向量数量积夹角
• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积