2004-江苏卷-16 填-平面向量的坐标表示与模长计算

本题导读

本题考查平面向量的数量积公式，以及向量共线的判定与单位向量。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 平面向量 $\vec{a},\vec{b}$ 中，已知 $\vec{a}=(4,-3)$， $|\vec{b}|=1$，且 $\vec{a}\cdot \vec{b}=5$，则向量 $\vec{b}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一步逻辑（求已知向量 $\vec{a}$ 的模长）：已知 $\vec{a}=(4,-3)$。利用平面向量模长公式 $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$，直接算出 $|\vec{a}|=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=5$。
2. 第二步逻辑（分析点积恒等性质的几何特征）：
   • 根据数量积公式： $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \theta$，其中 $\theta$ 为两向量夹角。
   • 将已知数据代入： $5=5\times 1\times \cos \theta ⟹\cos \theta =1$。
   • 根据三角函数性质，当且仅当 $\theta =0^{\circ }$ 时， $\cos \theta =1$。这表明向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 同向共线。
3. 第三步逻辑（求解同向单位向量）：因为 $|\vec{b}|=1$，且与 $\vec{a}$ 同向，所以 $\vec{b}$ 严格等于 $\vec{a}$ 方向上的单位向量。直接用向量 $\vec{a}$ 除以其自身的模长 $|\vec{a}|$ 即可精确输出坐标结果。

✅【答案】

Success

$\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ ［或 $(0.8,-0.6)$］

✍【详细解析】

Abstract

• 计算向量 $\vec{a}$ 的模长： 已知平面向量的坐标为 $\vec{a}=(4,-3)$。 根据向量模长代数公式： $|\vec{a}|=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{（式1）}$

• 运用数量积夹角公式判定向量位置关系： 设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的空间夹角为 $\theta (\theta \in [0,\pi ])$。 根据数量积（点积）的标准几何定义式： $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \theta \text{（式2）}$ 将已知条件 $\vec{a}\cdot \vec{b}=5$， $|\vec{b}|=1$ 以及求得的 $|\vec{a}|=5$（式1）代入定义式（式2）中： $5=5\times 1\times \cos \theta ⟹5\cos \theta =5\text{（式3）}$ 方程两边同时除以 5，锁定夹角余弦值： $\cos \theta =1\text{（式4）}$

  在有界区间 $[0,\pi ]$ 内，满足（式4）的角有且仅有： $\theta =0\text{（式5）}$ （式5）表明，向量 $\vec{b}$ 与已知向量 $\vec{a}$ 方向完全相同（同向共线）。

• 利用单位向量定义求解坐标： 因为 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 同向，且其模长 $|\vec{b}|=1$，由平面几何量性质， $\vec{b}$ 即为 $\vec{a}$ 的同向单位向量。 构建运算映射方程： $\vec{b}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\text{（式6）}$ 将 $\vec{a}=(4,-3)$ 与 $|\vec{a}|=5$ 代入（式6）的分量方程中： $\vec{b}=\frac{(4,-3)}{5}=\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$

填空题最终答案为： $\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$ ［或 $(0.8,-0.6)$］。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量点积公式的逆向化简；夹角 $\cos \theta =1$ 对应的同向共线恒等性质判定；单位向量 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 的坐标解构。
2. 核心方法：几何量判定法、单位向量法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在没有判定夹角的情况下，盲目设 $\vec{b}=(x,y)$ 联立二次方程组导致多解或符号错乱：很多学生习惯性列出 $4x-3y=5$ 和 $x^2+y^2=1$，通过繁琐的消元二次方程算解。这种硬算方法极易在求平方根时产生负数根（反向共线解），若把 $\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ 一并填入，则属于严重的概念性错误。请牢记向量点积铁律：凡是看到题干中‘点积的数值’恰好等于‘某两个向量模长的乘积’（即 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$），无条件直接判定两向量同向共线，解的方向性唯一，直接套用单位向量运算求值，可实现秒杀且绝对不会多解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材“平面向量的数量积”章节关于单位向量与点积性质的基础核心练习题，是高考考查向量代数功底的最标准中频填空题。
2. 结论推广: 由 $|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$（等号当且仅当 $\vec{a},\vec{b}$ 共线同向时成立），可知若 $|\vec{b}|=L$ 且 $\vec{a}\cdot \vec{b}=M$，则 $|M|\le L|\vec{a}|$；等号成立时 $\vec{b}=L\cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-湖北文-09 单-向量共线定轨迹