2006-湖北文-09 单-向量共线定轨迹

本题导读

本题考查向量，以及轨迹方程。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 设过点 $P(x,y)$ 的直线分别与 $x$ 轴的正半轴和 $y$ 轴的正半轴交于 $A$，$B$ 两点，点 $Q$ 与点 $P$ 关于 $y$ 轴对称，$O$ 为坐标原点，若 $\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PA}$ 且 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AB}=1$，则点 $P$ 的轨迹方程是()

A. $3x^2+\frac{3}{2}{y}^2=1$（$x>0$，$y>0$）　　　　　B. $3x^2-\frac{3}{2}{y}^2=1$（$x>0$，$y>0$）

C. $\frac{3}{2}{x}^2-3y^2=1$（$x>0$，$y>0$）　　　　　D. $\frac{3}{2}{x}^2+3y^2=1$（$x>0$，$y>0$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $A=(a,0)$，$B=(0,b)$（$a>0,b>0$），$P=(x,y)$ 在 $AB$ 上。
2. $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{P}-\overrightarrow{B}=(x,y-b)$，$\overrightarrow{PA}=(a-x,-y)$。由 $\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PA}$：$(x,y-b)=2(a-x,-y)$，得 $x=2a-2x\Rightarrow a=\frac{3x}{2}$，$y-b=-2y\Rightarrow b=3y$。
3. $Q=(-x,y)$，$\overrightarrow{OQ}=(-x,y)$，$\overrightarrow{AB}=(-a,b)$，故 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AB}=ax+by=1$。
4. 代入 $a=\frac{3x}{2},b=3y$：$\frac{3}{2}{x}^2+3y^2=1$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设 $A=(a,0)$，$B=(0,b)$（$a>0,b>0$），由 $\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PA}$ 得 $(x,y-b)=2(a-x,-y)$，故 $x=2a-2x\Rightarrow a=\frac{3x}{2}$，$y-b=-2y\Rightarrow b=3y$． 点 $Q$ 与 $P$ 关于 $y$ 轴对称，故 $Q=(-x,y)$，$\overrightarrow{OQ}=(-x,y)$，$\overrightarrow{AB}=(-a,b)$． 于是 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AB}=(-x)(-a)+y\cdot b=ax+by=1$． 代入 $a=\frac{3x}{2}$，$b=3y$：$\frac{3}{2}{x}^2+3y^2=1$（$x>0,y>0$），选 D． ★【裁定】答案册印 B（$3x^2-\frac{3}{2}{y}^2=1$），但由 $\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PA}$ 及 $OQ\cdot AB=1$ 复算，轨迹应为 $\frac{3}{2}{x}^2+3y^2=1$（双正号椭圆），多源（人人文库等）亦记为 D，故以 D 为准。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量共线定轨迹

核心方法：设 $A=(a,0),B=(0,b)$，由 $\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PA}$ 得 $P=(2a/3,b/3)$，再 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AB}=1$

避坑指南：$Q$ 是 $P$ 关于 $y$ 轴对称点 $Q=(-x,y)$；轨迹 $\frac{3}{2}{x}^2+3y^2=1$（$x,y>0$）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 向量共线定轨迹，平面向量综合

结论推广: $\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PA}$ 定比分点，$OQ\cdot AB=1$ 定轨迹

方法推广: 用向量坐标化参数 $a,b$，消参得轨迹方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-12 单-轨迹新定义
• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积
• 2009-辽宁文-04 单-向量模与夹角
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心