2004-广东卷理-01 单-平面向量的数量积坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的数量积坐标运算，以及向量垂直的充要条件。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 已知平面向量 $\vec{a}=(3,1)$， $\vec{b}=(x,-3)$，且 $\vec{a}\perp \vec{b}$，则 $x=$ ()

A. $-3$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：根据平面向量垂直的充要条件，若两个非零向量垂直，则它们的数量积为零，即 $\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。
2. 第二步逻辑：若已知两向量的坐标为 $\vec{a}=(x_1,y_1)$， $\vec{b}=(x_2,y_2)$，则其数量积公式为 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。将已知坐标代入公式建立关于 $x$ 的一元一次方程，解出 $x$ 的值即可。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\vec{a}=(3,1)$， $\vec{b}=(x,-3)$，且 $\vec{a}\perp \vec{b}$， 根据平面向量垂直的坐标表示，满足： $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot x+1\cdot (-3)=0$ 化简得： $3x-3=0⟹3x=3⟹x=1$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量垂直与数量积为零的等价转化；向量数量积的坐标表示方法 $x_1{x}_2+y_1{y}_2$。
2. 核心方法：坐标代数方程法。
3. 避坑指南：容易混淆两向量“垂直”与“共线（平行）”的坐标运算法则。两向量平行满足 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$（交叉相乘相等），而垂直满足 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$（对应坐标乘积之和为零）。审题时需看清几何条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自教材平面向量数量积的基础课后习题，考查向量垂直的充要条件。
2. 结论推广: 在 $n$ 维欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中，两向量 $\vec{\alpha }=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 与 $\vec{\beta }=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ 正交的充要条件是它们的标准内积恒为零，即 $⟨\vec{\alpha },\vec{\beta }⟩={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值