2004-浙江理-14 填-平面向量的模与数量积

本题导读

本题考查平面向量的模与数量积，以及向量回路恒等式。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 已知平面上三点 $A、B、C$ 满足 $|\overrightarrow{AB}|=3$, $|\overrightarrow{BC}|=4$, $|\overrightarrow{CA}|=5$, 则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}$ 的值等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析几何背景：三边长为 3, 4, 5 构成了标准的直角三角形 $△ABC$，其中 $\angle B=90^{\circ }$。
2. 利用向量回路恒等式：由于 $A,B,C$ 构成封闭回路，三个首尾相接的向量之和必定为零向量，即 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$。
3. 两边进行模平方：将上式两边平方，得 $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}{)}^2=0$。展开后利用 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$ 和完全平方展开公式，将边长代入直接解出目标组合的值。

✅【答案】

Success

$-25$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：建立向量回路基本关系式 因为 $A,B,C$ 是平面上的任意三点，根据向量的加法首尾相接法则（或回路闭合性）： $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$

• 第二步：对关系式两边进行数量积自乘（模平方） 将上述向量等式两边同时平方： ${\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)}^2={\vec{0}}^2$ 根据多元完全平方展开公式，上式展开为： ${\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{BC}}^2+{\overrightarrow{CA}}^2+2\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=0$

• 第三步：将向量的自乘转化为模的平方 因为任意向量满足 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$，将已知的模长 $|\overrightarrow{AB}|=3$, $|\overrightarrow{BC}|=4$, $|\overrightarrow{CA}|=5$ 代入式中： $3^2+4^2+5^2+2\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=0$ 计算常数项之和： $9+16+25=50$

  代入方程得： $50+2\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=0$

• 第四步：移项求解目标式的值 $2\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=-50$ 两边同时除以 2，得： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=-25$

(另解：几何法。因 $3^2+4^2=5^2$， $△ABC$ 为直角三角形且 $\angle B=90^{\circ }$。由于 $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$，故 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$。 根据定义计算其余两项： $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=4\times 5\times \cos (180^{\circ }-\angle C)=20\times \left(-\frac{4}{5}\right)=-16$； $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=5\times 3\times \cos (180^{\circ }-\angle A)=15\times \left(-\frac{3}{5}\right)=-9$。 三项相加为 $0+(-16)+(-9)=-25$。验证与代数法一致。)

答案：$-25$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：首尾相接向量和为零、向量的完全平方公式律 $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{)}^2$。
2. 核心 method：整体模平方构造法。
3. 避坑指南：
   • 如果使用几何法（求夹角），注意向量的夹角是共起点延伸线之间的夹角。例如 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角不是 $△ABC$ 的内角 $\angle B$，而是内角的补角 $180^{\circ }-\angle B$。若直接带入内角计算会导致符号出错。故优先推荐使用免去夹角讨论的模平方代数法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的高考平面向量性质组合计算填空题。
2. 结论推广: 一般地，对于平面（或空间）任意 $n$ 边形构成的封闭闭合向量组 ${\sum }_{i=1}^n{\vec{a}}_i=\vec{0}$，其两两数量积之和 ${\sum }_{1⩽i<j⩽n}{\vec{a}}_i\cdot {\vec{a}}_j$ 的值具有完全不依赖几何角度的纯代数恒等解析通式： $-\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n|{\vec{a}}_i{|}^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值