2004-湖北理-04 单-充分条件与必要条件的判定

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及平面向量的数量积性质。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 已知 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 为非零的平面向量.甲： $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$，乙： $\vec{b}=\vec{c}$，则 ()

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（判定甲 $⟹$ 乙）：将甲的条件方程 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$ 移项，提取公因式 $\vec{a}$ 变形为 $\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$。根据向量数量积为 0 的性质，这意味着 $\vec{a}=\vec{0}$（已知非零已排除）、 $\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}$（即 $\vec{b}=\vec{c}$）或者 $\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$。由于存在垂直这种非平庸的几何可能，并不一定会推导出 $\vec{b}=\vec{c}$，故“甲 $⟹$ 乙”为假命题。
2. 第二步逻辑（判定乙 $⟹$ 甲）：若已知乙成立，即 $\vec{b}=\vec{c}$，在等式两边同时内积同一个非零向量 $\vec{a}$，根据数量积的唯一性，显然有 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$，故“乙 $⟹$ 甲”为真命题。
3. 第三步逻辑（锁定结论）：由乙能推出甲，但甲不能推出乙，可知甲是乙的必要不充分条件。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 探究由“甲”能否推出“乙”（充分性判定）： 已知 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$，将其移项合并： $\vec{a}\cdot \vec{b}-\vec{a}\cdot \vec{c}=0⟹\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})=0$ 因为 $\vec{a}$ 为非零向量，根据平面向量数量积为零的充要条件，上式成立意味着： $\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}\text{或}\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$ 也就是说，可能存在 $\vec{b}\ne \vec{c}$ 但 $\vec{a}$ 恰好与 $\vec{b}-\vec{c}$ 相互垂直的情况。 例如：设 $\vec{a}=(1,0)$， $\vec{b}=(0,1)$， $\vec{c}=(0,2)$。 则 $\vec{b}-\vec{c}=(0,-1)$，此时 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$， $\vec{a}\cdot \vec{c}=0$，满足甲条件；但显然 $\vec{b}\ne \vec{c}$，不满足乙条件。 因此，甲不能推出乙，甲不是乙的充分条件。

• 探究由“乙”能否推出“甲”（必要性判定）： 已知乙成立，即： $\vec{b}=\vec{c}$ 在等式左右两边同时乘以非零向量 $\vec{a}$： $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$ 此时甲条件必然成立。 因此，乙能推出甲，甲是乙的必要条件．

综上所述，甲是乙的必要条件但不是充分条件。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：逻辑条件方向性（充分必要性）的严密定义；向量数量积运算中消去律的不成立性。
2. 核心方法：代数移项因式分解法、特例法。
3. 避坑指南：
   • 极易产生实数乘法的路径依赖，误以为 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$ 可以像实数 $ab=ac$ ($a\ne 0$) 那样直接把 $\vec{a}$ 约掉得到 $\vec{b}=\vec{c}$。必须时刻警惕：向量数量积满足交换律和分配律，但绝不满足消去律！ 两个向量内积相等，其几何本质是它们在第三个向量上的正交投影长度相等，如图象所示，投影相等的向量在空间中可以有无数个，无需完全相等。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材平面向量基本运算部分的错例辨析思考题，旨在通过逻辑用语外壳考查学生对向量代数基本功的掌握。
2. 结论推广: 由 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$ 不能推出 $\vec{b}=\vec{c}$（因为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}-\vec{c}$ 垂直即可）。判断充分必要条件，要分别检验“$p\Rightarrow q$”与“$q\Rightarrow p$”两个方向是否都成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值