2004-全国卷II理-09 单-向量的投影

本题导读

本题考查向量的投影，以及平面向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 已知平面上直线 $L$ 的方向向量 $\mathbf{e}=\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$，点 $O(0,0)$ 和 $A(1,-2)$ 在 $L$ 上的射影分别是 $O_1$ 和 $A_1$，则 $\overrightarrow{O_1{A}_1}=\lambda \mathbf{e}$，其中 $\lambda =$ ()

A. $\frac{11}{5}$　　　　　　B. $-\frac{11}{5}$　　　　　　C. $2$　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 验证给定的直线方向向量 $\mathbf{e}$ 的模长，确认其是否为单位向量。
2. 根据投影的几何意义，向量 $\overrightarrow{O_1{A}_1}$ 即为向量 $\overrightarrow{OA}$ 在方向向量 $\mathbf{e}$ 上的投影向量。
3. 利用投影向量公式 $\overrightarrow{O_1{A}_1}=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \mathbf{e}}{|\mathbf{e}{|}^2}\mathbf{e}$，计算出系数 $\lambda$ 的值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

首先计算方向向量 $\mathbf{e}$ 的模长： $|\mathbf{e}|=\sqrt{{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{9}{25}}=1$ 所以 $\mathbf{e}$ 是一个单位向量。

已知点 $O(0,0)$ 和 $A(1,-2)$，则向量 $\overrightarrow{OA}=(1,-2)$。 由于 $O_1$ 和 $A_1$ 分别是 $O$ 和 $A$ 在直线 $L$ 上的射影，故 $\overrightarrow{O_1{A}_1}$ 是向量 $\overrightarrow{OA}$ 在直线 $L$（即向量 $\mathbf{e}$ 方向）上的投影向量。 根据向量的投影公式： $\overrightarrow{O_1{A}_1}=(\overrightarrow{OA}\cdot \mathbf{e})\mathbf{e}$

已知 $\overrightarrow{O_1{A}_1}=\lambda \mathbf{e}$，故： $\lambda =\overrightarrow{OA}\cdot \mathbf{e}$

代入坐标进行数量积运算： $\lambda =(1,-2)\cdot \left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)=1\times \left(-\frac{4}{5}\right)+(-2)\times \left(\frac{3}{5}\right)=-\frac{4}{5}-\frac{6}{5}=-2$

对照选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的数量积运算、投影向量的定义与计算公式。
2. 核心方法：公式法、坐标代入计算。
3. 避坑指南：必须先核实方向向量 $\mathbf{e}$ 是否为单位向量（$|\mathbf{e}|=1$）。若 $|\mathbf{e}|\ne 1$，则投影向量公式应为 $\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \mathbf{e}}{|\mathbf{e}{|}^2}\mathbf{e}$，此时 $\lambda =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \mathbf{e}}{|\mathbf{e}{|}^2}$，极易因漏除模长的平方而计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 常见向量投影的基础概念题。
2. 结论推广: 向量 $\mathbf{a}$ 在非零向量 $\mathbf{b}$ 上的投影向量恒为 $\left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}\right)\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}{|}^2}\mathbf{b}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值
• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积