2004-福建理-17 解-平面向量的数量积坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的数量积坐标运算。核心在于数量积代数展开法、辅助角公式统一特征法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 设函数 $f(x)=\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}$，其中向量 $\vec{\mathbf{a}}=(2\cos x,1)$， $\vec{\mathbf{b}}=(\cos x,\sqrt{3}\sin 2x)$，$x\in \mathbf{R}$.

(1)若 $f(x)=1-\sqrt{3}$ 且 $x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$，求 $x$；

(2)若函数 $y=2\sin 2x$ 的图象按向量 $\vec{\mathbf{c}}=(m,n)$ ($\left|m\right|<\frac{\pi }{2}$) 平移后得到函数 $y=f(x)$ 的图象，求实数 $m$、$n$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 向量解析化，实施三角恒等变换：
   • 依据向量数量积的坐标乘加规则： $f(x)=\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=2{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\sin 2x$．
   • 利用二倍角余弦降幂公式 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$ 进行降次化简，改写为 $f(x)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x+1$．
   • 套用辅助角公式（提取公因数 2）进行合并： $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+1$．
2. 第一问：分域限定解方程：
   • 令 $2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+1=1-\sqrt{3}⟹\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
   • 根据自变量已知范围 $x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$，通过线性变换控算复合角 $2x+\frac{\pi }{6}$ 的完整目标闭区间，在该区间内拦截满足正弦值的特殊角，逆推求出 $x$．
3. 第二问：平移向量的代数映射：
   • 依据图形平移的“左加右减，上加下减”规则，基准函数 $y=2\sin 2x$ 沿向量 $\vec{\mathbf{c}}=(m,n)$ 平移后，新解析式严格对应为： $y=2\sin 2(x-m)+n=2\sin (2x-2m)+n$．
   • 将平移后的结构与 $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+1$ 进行齐次系数逐项对齐，结合 2 阶周期性与边界约束 $\left|m\right|<\frac{\pi }{2}$ 唯一锁定 $m$ 和 $n$ 的取值。

✅【答案】

Success

(1) $x=-\frac{\pi }{4}$

(2) $m=-\frac{\pi }{12}$，$n=1$

✍【详细解析】

Abstract

一、 基础化简：求函数 $f(x)$ 的标准解析式 根据平面向量数量积的坐标运算法则，将 $\vec{\mathbf{a}}$ 与 $\vec{\mathbf{b}}$ 展开点乘： 得 $f(x)=\vec{\mathbf{a}}\cdot \vec{\mathbf{b}}=(2\cos x)\cdot (\cos x)+1\cdot (\sqrt{3}\sin 2x)=2{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\sin 2x$。 逆用余弦二倍角降幂公式 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$ 代入式中： 得 $f(x)=1+\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x+1$。 应用辅助角公式进行合一变换，提取振幅系数 $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2$： 得 $f(x)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)+1$。 由于 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$， $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$，化为标准的正弦型复合函数： 得 $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+1$。

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（1）求解三角方程 由题意，令 $f(x)=1-\sqrt{3}$，代入化简后的解析式： 得 $2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+1=1-\sqrt{3}$。 两边同时减去 1，再除以 2： 得 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{（式1）}$。

因为自变量满足约束条件： 得 $x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]⟹-\frac{\pi }{3}\le x\le \frac{\pi }{3}$。 对该不等式链同时乘以 2，再统一加上偏置 $\frac{\pi }{6}$，以求出复合角的定义域取值范围： 得 $-\frac{2\pi }{3}\le 2x\le \frac{2\pi }{3}$。 即 $-\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\le 2x+\frac{\pi }{6}\le \frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$。 即 $⟹-\frac{\pi }{2}\le 2x+\frac{\pi }{6}\le \frac{5\pi }{6}$。

在此闭区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}\right]$ 内，寻找满足正弦值为 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的孤立解。 根据正弦函数图像： 满足条件的值唯一存在，即： 得 $2x+\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}$。 移项并求解一元一次代数式： 得 $2x=-\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}$。 即 $x=-\frac{\pi }{4}$。 由于 $-\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$，该解合法。 因此，满足条件的实数 $x=-\frac{\pi }{4}$．

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（2）求解平移向量参数 根据函数图象按向量 $\vec{\mathbf{c}}=(m,n)$ 平移的解析几何映射定理： 将原函数 $y=2\sin 2x$ 图象上所有点的横坐标加上 $m$，纵坐标加上 $n$，对应新解析式直接进行代数替换（即 $x\to x-m$, $y\to y-n$）： 得 $y-n=2\sin 2(x-m)⟹y=2\sin (2x-2m)+n$。 该变换后的图象与 $y=f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+1$ 完全重合，因此对应项系数恒等。

逐项对齐比较两方程的参数分量：

1. 纵轴垂直偏置对齐： 得 $n=1$。
2. 初对齐（考虑周期对称性）： 得 $-2m=\frac{\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$。 方程两边同时除以 $-2$： 得 $m=-\frac{\pi }{12}-k\pi (k\in \mathbb{Z})$。

题目给出振幅的边界约束范围为 $\left|m\right|<\frac{\pi }{2}$，即： 得 $-\frac{\pi }{2}<-\frac{\pi }{12}-k\pi <\frac{\pi }{2}$。 显然，当且仅当整数 $k=0$ 时，平移步长 $m$ 安全落在该开区间内： 得 $m=-\frac{\pi }{12}$。

综上所述，求得的目标实数参数为： 得 $m=-\frac{\pi }{12},n=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积与三角降幂公式 $2{\cos }^2\theta =1+\cos 2\theta$ 的组合化简；辅助角公式 $\sqrt{3}\sin \omega x+\cos \omega x=2\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的快速准确输出；向量平移运算对自变量 $x$ 整体实施括号替换（$x\to x-m$）的代数规范。
2. 核心方法：整体变量边界控制法、图象变换齐次对齐法。
3. 避坑指南：
   • 第二问进行平移时忘记对自变量加括号：很多学生将 $y=2\sin 2x$ 向右平移 $m$ 个单位，错写成 $y=2\sin 2x-m$ 或者是 $y=2\sin (2x-m)$。请牢记平移规则：平移是对孤立的自变量 $x$ 而言的，必须写成 $2(x-m)=2x-2m$，系数 2 必须通过分配律乘进去。
   • 第一问求解集时范围拦截产生漏解或多解：在解 $\sin \varphi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，一定要先精确算出复合角 $\varphi =2x+\frac{\pi }{6}$ 的范围 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}\right]$。由于该范围跨越了第四、一、二象限，满足正弦值为负的只有第四象限的 $-\frac{\pi }{3}$，第三象限的 $-\frac{2\pi }{3}$ 超出了左边界，由此可绝对确保解的完整性与唯一性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查高中三角恒等变换与解析几何向量工具（仿射空间变换）融合的标准大纲解答题第一题，属于低难度送分技巧题。
2. 结论推广: $y=A\sin (\omega x)$ 的图象向左（右）平移 $\frac{\phi }{\omega }$ 个单位得 $y=A\sin (\omega x+\phi )$，相位变化对应图象的平移。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值
• 1955-全国-04 解-解三角方程cos2x
• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较