2004-全国卷IV理-14 填-平面向量的数量积运算

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算，以及向量数量积的代数分配律。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 向量 $\vec{a}、\vec{b}$ 满足 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot (2\vec{a}+\vec{b})=-4$，且 $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=4$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开已知向量多项式：利用平面向量数量积的分配律，将 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot (2\vec{a}+\vec{b})$ 像多项式乘法一样展开，并合并同类项，化为包含 ${\vec{a}}^2$、 ${\vec{b}}^2$ 及 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的式子。
2. 利用模与内积的关系代入：牢记 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$，将已知的模长 $|\vec{a}|=2$ 和 $|\vec{b}|=4$ 代入展开式，解出一元一次方程，从而求出基本量 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的值。
3. 套用夹角余弦公式：根据公式 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$ 代入数据计算出最终结果。

✅【答案】

Success

$-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：展开已知数量积代数式 根据向量数量积的分配律与交换律，将已知方程左边展开： $(\vec{a}-\vec{b})\cdot (2\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}\cdot (2\vec{a})+\vec{a}\cdot \vec{b}-\vec{b}\cdot (2\vec{a})-\vec{b}\cdot \vec{b}$ $=2{\vec{a}}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-2\vec{a}\cdot \vec{b}-{\vec{b}}^2$ 合并同类项得： $=2{\vec{a}}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}-{\vec{b}}^2$

• 第二步：求出核心向量内积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 因为 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2=2^2=4$， ${\vec{b}}^2=|\vec{b}{|}^2=4^2=16$。 将上述模的平方代入化简后的方程中： $2\times 4-\vec{a}\cdot \vec{b}-16=-4$ $8-\vec{a}\cdot \vec{b}-16=-4$ $-8-\vec{a}\cdot \vec{b}=-4$ 移项解得： $\vec{a}\cdot \vec{b}=-4$

• 第三步：计算两向量夹角的余弦值 设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta (\theta \in [0,\pi ])$，根据向量夹角公式： $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$ 代入已知量与求得的内积值： $\cos \theta =\frac{-4}{2\times 4}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$

答：$-\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积的代数分配律、恒等式 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$、夹角余弦公式。
2. 核心方法：整体多项式化简法。
3. 避坑指南：
   • 向量绝对不能写作简单的字母乘积，且必须认清乘积的本质。在展开过程中， $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 表示的是数量积（点乘），结果是一个实数，切勿将其丢掉或错写成普通代数号。
   • 注意移项时的正负号。 $-8-\vec{a}\cdot \vec{b}=-4⟹\vec{a}\cdot \vec{b}=-8-(-4)=-4$。若粗心将符号算错，会导致余弦值求出为正数，产生错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修第二册”数量积的运算律”习题。全国卷Ⅳ用一道填空，把”展开—解数量积—求余弦”三步串成一条线。

结论推广：一般地，$\left(\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}\right)\cdot \left(\gamma \vec{a}+\delta \vec{b}\right)=M$ 展开后是关于 $x=\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的一次方程：$\alpha \gamma {\left|\vec{a}\right|}^2+\left(\alpha \delta +\beta \gamma \right)x+\beta \delta {\left|\vec{b}\right|}^2=M$。两个模已知，$x$ 就唯一。

方法推广：展开时把 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 当”一个数”合并同类项，别按字母乘法去展开。本题 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的系数是 $1-2=-1$，符号一错，余弦就从负变正。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值
• 2006-重庆文-08 单-向量模等求夹角