2001-上海卷理-14 单-空间向量基本定理

本题导读

本题考查空间向量基本定理，以及向量的线性运算。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 在平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$M$ 为 $AC$ 与 $BD$ 的交点，若 $\overrightarrow{A_1{B}_1}=\vec{a}$、$\overrightarrow{A_1{D}_1}=\vec{b}$、$\overrightarrow{A_{1}A}=\vec{c}$，则下列向量中与 $\overrightarrow{B_{1}M}$ 相等的向量是 ()

A. $-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}$　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}$

C. $\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}$　　　　　　　　　　　　　　D. $-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平移基底向量：利用平行六面体对边平行且相等的性质，将顶面给出的基底向量平移至底面与侧棱上：$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，$\overrightarrow{B_{1}B}=\overrightarrow{A_{1}A}=\vec{c}$。
2. 构建空间封闭路径：利用向量加法的三角形法则，将目标向量拆解为 $\overrightarrow{B_{1}M}=\overrightarrow{B_{1}B}+\overrightarrow{BM}$。
3. 求解底面局部向量：在底面平行四边形 $ABCD$ 中，$M$ 为对角线交点，故 $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$。再利用三角形法则 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ 转化为基底表示，最后合并同类项。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

确定基本线段的向量表示 在平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，根据几何性质有： $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1{B}_1}=\vec{a}$ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A_1{D}_1}=\vec{b}$ $\overrightarrow{B_{1}B}=\overrightarrow{A_{1}A}=\vec{c}$

求底面局部向量 $\overrightarrow{BM}$ 因为底面 $ABCD$ 为平行四边形，且 $M$ 为对角线 $AC$ 与 $BD$ 的交点，所以 $M$ 是线段 $BD$ 的中点。 根据平面向量的线性运算： $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ 利用向量减法，有： $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ 将其代入上式： $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$

组合目标空间向量 $\overrightarrow{B_{1}M}$ 利用空间向量加法的三角形法则： $\overrightarrow{B_{1}M}=\overrightarrow{B_{1}B}+\overrightarrow{BM}$ 代入已知基底与第二步的结论： $\overrightarrow{B_{1}M}=\vec{c}+\left(-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\right)=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}$

对照选项，与 (A) 完全一致。

(A)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平行六面体结构下的基底平移传递；空间向量多边形加法法则；平行四边形对角线互相平分的向量特征。
2. 核心方法：路径拆分代换法。
3. 避坑指南：

• 向量减法终点起点倒置陷阱：在计算 $\overrightarrow{BD}$ 时，极易错写为 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\vec{a}-\vec{b}$。必须牢记向量减法的几何意义：“指向被减数”（即 $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX}$）。
• 路径方向选择错误：若将路径选为 $\overrightarrow{B_{1}M}=\overrightarrow{B_1{A}_1}+\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AM}$ 亦可，但过程稍繁。优先选择直接沿着侧棱下降并利用底面几何中心的路径可使计算最短。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何向量化方法的最基础概念题，取材于高中数学教材“空间向量及其线性运算”章节中的课后标准示范题。
2. 结论推广： 对于任意平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，若以同一顶点出发的三条棱对应的向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 为基底。记几何体中心为 $O$（即体对角线交点），底面中心为 $M$。则有极其对称的仿射坐标结构： 底面中心相对顶点的位移： $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$ 体对角线： $\overrightarrow{A{C}_1}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ 几何中心： $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-四川文-18 解-向量与解三角形
• 2006-四川文-22 解-双曲线与弦长面积