2006-四川文-22 解-双曲线与弦长面积

本题导读

本题考查双曲线。核心在于联立方程求弦长、几何法求面积。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 已知两定点 $F_1(-\sqrt{2},0)$、$F_2(\sqrt{2},0)$，满足条件 $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2$ 的点 $P$ 的轨迹是曲线 $E$，直线 $y=kx-1$ 与曲线 $E$ 交于 $A$、$B$ 两点．

(1) 求 $k$ 的取值范围；

(2) 如果 $|AB|=6\sqrt{3}$，且曲线 $E$ 上存在点 $C$，使 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}$，求 $m$ 的值和 $△ABC$ 的面积 $S$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2$ 为双曲线定义，焦距 $2\sqrt{2}$，实轴 $2$，故 $a=1$、$c=\sqrt{2}$、$b^2=c^2-a^2=1$，方程为 $x^2-y^2=1$；由 $|P{F}_2|>|P{F}_1|$ 取左支 $x⩽-1$。
2. 直线代入得 $(1-k^2)x^2+2kx-2=0$，需两根同负（左支），解得 $-1<k<-\sqrt{2}$ 中取 $-\sqrt{2}<k<-1$。
3. (2) 由弦长公式与韦达定理解 $k=-\frac{\sqrt{5}}{2}$，再算 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(-4\sqrt{5},8)$，$C$ 在曲线上得 $m^2=16$，$C$ 在左支取 $m=4$。
4. 点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离 $d=\frac{1}{3}$，$S=\frac{1}{2}|AB|d=\sqrt{3}$。

✅【答案】

Success

(1) $-\sqrt{2}<k<-1$

(2) $m=4$，$S=\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $P=(x,y)$．由 $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2$ 知曲线 $E$ 是焦点为 $F_1(-\sqrt{2},0)$、$F_2(\sqrt{2},0)$、实轴长为 $2$ 的双曲线． 焦距的一半为 $\sqrt{2}$，实半轴 $a=1$，故虚半轴平方 $b^2=c^2-a^2=2-1=1$，双曲线方程为 $x^2-y^2=1$． 由 $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2>0$ 知点 $P$ 在左支，故 $E$ 满足 $x⩽-1$． 将直线 $y=kx-1$ 代入双曲线方程： $x^2-(kx-1{)}^2=1⟺(1-k^2)x^2+2kx-2=0.$ 要有两个不同交点，先需判别式 $4k^2+8(1-k^2)>0$，即 $4(2-k^2)>0$，得 $|k|<\sqrt{2}$． 又两交点都在左支（$x<0$），需两根同号且为负：当 $-1<k<1$ 时两根异号；当 $1<k<\sqrt{2}$ 时两根同正；当 $-\sqrt{2}<k<-1$ 时两根同负，符合．$k=\pm 1$ 时方程退化，$k=\pm \sqrt{2}$ 时只有一个交点． 故 $k$ 的取值范围是 $-\sqrt{2}<k<-1$．

（2）设交点横坐标为 $x_1,x_2$，由（1）中方程， $x_1+x_2=\frac{-2k}{1-k^2}=\frac{2k}{k^2-1},x_1{x}_2=\frac{-2}{1-k^2}=\frac{2}{k^2-1}.$ 由根之差与弦长公式（$A,B$ 在斜率 $k$ 的直线上）： $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=2\sqrt{\frac{(1+k^2)(2-k^2)}{(k^2-1{)}^2}}=6\sqrt{3}.$ 令 $t=k^2$，平方得 $(1+t)(2-t)=27(t-1{)}^2$，即 $28t^2-55t+25=0$，解得 $t=\frac{5}{4}$ 或 $t=\frac{5}{7}$． 结合 $1<k^2<2$ 及 $k<0$，得 $k=-\frac{\sqrt{5}}{2}$． 由韦达定理，$x_1+x_2=\frac{2k}{k^2-1}$，$y_1+y_2=k(x_1+x_2)-2=\frac{2}{k^2-1}$． 当 $k=-\frac{\sqrt{5}}{2}$ 时 $k^2-1=\frac{1}{4}$，故 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(x_1+x_2,y_1+y_2)=(-4\sqrt{5},8).$ 设 $C=(x_C,y_C)$，由 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}$ 得 $C=\left(\frac{-4\sqrt{5}}{m},\frac{8}{m}\right)$，又 $C\in E$，故 $\frac{(-4\sqrt{5}{)}^2-8^2}{m^2}=1⟺\frac{80-64}{m^2}=1⟺m^2=16.$ 由于 $C$ 必在双曲线左支，取 $m=4$，从而 $C=(-\sqrt{5},2)$． 直线 $AB$ 的方程为 $y=-\frac{\sqrt{5}}{2}x-1$，点 $C$ 到该直线的距离 $d=\frac{\left|\frac{\sqrt{5}}{2}(-\sqrt{5})+2+1\right|}{\sqrt{\frac{5}{4}+1}}=\frac{\left|-\frac{5}{2}+3\right|}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}.$ 所以 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{3}\times \frac{1}{3}=\sqrt{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线与弦长面积

核心方法：(1) 由 $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2$ 得双曲线左支 $x^2-y^2=1$（$x⩽-1$），代入直线得 $k\in (-\sqrt{2},-1)$；(2) 弦长 $6\sqrt{3}$ 解 $k=-\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}$ 得 $m=4$，面积 $\sqrt{3}$

避坑指南：双曲线左支需 $x⩽-1$，$k$ 取负且 $|k|<\sqrt{2}$；$C$ 必在左支故 $m>0$；点到直线距离公式勿漏绝对值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 双曲线定义、弦长与面积

结论推广: 双曲线 $x^2-y^2=1$ 左支 $x⩽-1$

方法推广: 弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$，向量关系求 $m$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.04 椭圆与双曲线性质深度对比表

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-11 单-双曲线焦点三角形面积
• 2008-山东文-13 填-圆交点定双曲线方程
• 2008-湖南文-10 单-双曲线离心率范围
• 2009-湖北卷文-05 单-双曲线准线