2004-重庆理-21 解-直线与抛物线的位置关系

本题导读

本题考查直线与抛物线的位置关系，主要用到设而不求法和韦达定理法。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 设 $p>0$ 是一常数，过点 $Q(2p,0)$ 的直线与抛物线 $y^2=2px$ 交于相异两点 $A,B$，以线段 $AB$ 为直径作圆 $H$（$H$ 为圆心）.试证抛物线顶点在圆 $H$ 的圆周上；并求圆 $H$ 的面积最小时直线 $AB$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. 转化顶点在圆周上的几何条件：
   • 抛物线顶点为原点 $O(0,0)$。若点 $O$ 在以 $AB$ 为直径的圆 $H$ 的圆周上，根据圆周角定理，等价于 $OA\perp OB$。
   • 只需证明 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，即 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$ 恒成立。
2. 直线方程的设法与联立：
   • 由于直线过 $Q(2p,0)$，且不与 $x$ 轴重合（否则与抛物线不能交于两个相异点），设直线方程为 $x=my+2p$。
   • 将直线方程代入抛物线方程 $y^2=2px$，得到关于 $y$ 的一元二次方程，利用韦达定理写出 $y_1+y_2$ 与 $y_1{y}_2$，再将 $x_1{x}_2$ 也用 $y_1{y}_2$ 表示，代入数量积验证。
3. 圆面积最值的计算：
   • 圆 $H$ 的面积 $S=\pi R^2=\pi {\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{4}|AB{|}^2$。
   • 要使面积最小，只需弦长平方 $|AB{|}^2$ 最小。用弦长公式 $|AB{|}^2=(1+m^2)(y_1-y_2{)}^2=(1+m^2)[(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2]$，化为关于 $m^2$ 的函数求最值。

✅【答案】

Success

圆 $H$ 的面积最小时直线 $AB$ 的方程为 $x=2p$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：抛物线顶点在圆 $H$ 的圆周上 抛物线 $y^2=2px$ 的顶点为坐标原点 $O(0,0)$． 设过点 $Q(2p,0)$ 的直线 $AB$ 的方程为： $x=my+2p$ 设交点坐标分别为 $A(x_1,y_1)$， $B(x_2,y_2)$．

联立直线与抛物线方程： $\{\begin{array}{l}x=my+2p\\ y^2=2px\end{array}⟹y^2=2p(my+2p)⟹y^2-2pmy-4p^2=0$

因为直线与抛物线交于相异两点，该方程的判别式为： $\Delta =(-2pm{)}^2-4\times 1\times (-4p^2)=4p^2{m}^2+16p^2=4p^2(m^2+4)>0(\text{因 }p>0)$ 由韦达定理，有： $y_1+y_2=2pm,y_1{y}_2=-4p^2\text{（式1）}$

要证顶点 $O$ 在以 $AB$ 为直径的圆周上，只需证 $\angle AOB=90^{\circ }$，即证 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$． $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 因为两交点均在直线上，满足 $x_i=m{y}_i+2p$，代入上式消去 $x$： $x_1{x}_2+y_1{y}_2=(m{y}_1+2p)(m{y}_2+2p)+y_1{y}_2$ $x_1{x}_2+y_1{y}_2=m^2{y}_1{y}_2+2pm(y_1+y_2)+4p^2+y_1{y}_2$ $x_1{x}_2+y_1{y}_2=(m^2+1)y_1{y}_2+2pm(y_1+y_2)+4p^2$

将（式1）代入： $x_1{x}_2+y_1{y}_2=(m^2+1)(-4p^2)+2pm(2pm)+4p^2$ $x_1{x}_2+y_1{y}_2=-4p^2{m}^2-4p^2+4p^2{m}^2+4p^2=0$

因为 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0⟹OA\perp OB$，所以以线段 $AB$ 为直径的圆周经过坐标原点 $O$，即抛物线顶点在圆 $H$ 的圆周上．

（2）求圆 $H$ 的面积最小时直线 $AB$ 的方程 以线段 $AB$ 为直径的圆 $H$ 的面积 $S$ 为： $S=\pi R^2=\pi {\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{4}|AB{|}^2$

由两点间距离公式： $|AB{|}^2=(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2$ 因为 $x_1-x_2=(m{y}_1+2p)-(m{y}_2+2p)=m(y_1-y_2)$，代入得： $|AB{|}^2=(m^2+1)(y_1-y_2{)}^2=(m^2+1)[(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2]$

将（式1）代入上式： $|AB{|}^2=(m^2+1)[(2pm{)}^2-4(-4p^2)]=(m^2+1)(4p^2{m}^2+16p^2)=4p^2(m^2+1)(m^2+4)$

设 $t=m^2$，因为 $m\in \mathbb{R}$，所以 $t\ge 0$． 面积可表示为关于 $t$ 的二次函数： $S(t)=\frac{\pi }{4}\times 4p^2(t+1)(t+4)=\pi p^2(t^2+5t+4)$

因为 $p>0$ 为常数，且当 $t\ge 0$ 时，$t^2+5t+4$ 随 $t$ 的增大而单调递增． 因此，当且仅当 $t=0$（即 $m^2=0⟹m=0$）时，面积取得最小值： $S_{\text{min}}=\pi p^2(0+0+4)=4\pi p^2$

将 $m=0$ 代入直线方程 $x=my+2p$，得： $x=2p$

答：圆 $H$ 的面积最小时直线 $AB$ 的方程为 $x=2p$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：以线段为直径的圆过定点转化为 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$；直线与抛物线联立；弦长公式与二次函数最值。
2. 核心方法：设线消元法、韦达定理整体代换法。
3. 避坑指南：
   • 直线方程设法导致丢解：若设直线为 $y=k(x-2p)$，无法包含垂直于 $x$ 轴的直线 $x=2p$，而第二问的答案恰好就是 $x=2p$，会导致最后无法作答。过 $x$ 轴上定点的直线，通常设为 $x=my+x_0$ 的形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 2004 年重庆卷理科第 21 题，考查直线与抛物线的位置关系、弦长与定点问题。
2. 结论推广：以线段 $AB$ 为直径的圆过定点 $O$，常用 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ 转化为坐标关系验证；求弦长最值时，可先用韦达定理将 $|AB{|}^2$ 表示为参数的函数，再求最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-09 解-抛物线与直线的弦长及面积
• 2006-四川文-22 解-双曲线与弦长面积
• 1977-福建文-04 解-抛物线与圆切线