2006-四川文-18 解-向量与解三角形

本题导读

本题考查向量与解三角形。核心在于向量运算与正余弦定理。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 已知 $A$、$B$、$C$ 是 $△ABC$ 三内角，向量 $\mathbf{m}=(-1,\sqrt{3})$，$\mathbf{n}=(\cos A,\sin A)$，且 $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=1$．

(1) 求角 $A$；

(2) 若 $\frac{1+\sin 2B}{{\cos }^{2}B-{\sin }^{2}B}=-3$，求 $\tan C$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=-\cos A+\sqrt{3}\sin A=2\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right)=1$。
2. 因 $0<A<\pi$，$-\frac{\pi }{6}<A-\frac{\pi }{6}<\frac{5\pi }{6}$，$\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 只有解 $A-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$，故 $A=\frac{\pi }{3}$。
3. (2) 原式分母 ${\cos }^{2}B-{\sin }^{2}B=\cos 2B$，分子 $1+\sin 2B$。由 $1+\sin 2B={\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B+2\sin B\cos B$。
4. 若 $\cos B\ne 0$，同除 ${\cos }^{2}B$ 得 $\frac{(1+\tan B{)}^2}{1-{\tan }^{2}B}=\frac{1+\tan B}{1-\tan B}=-3$，解 $\tan B=2$。
5. $C=\pi -A-B=\frac{2\pi }{3}-B$，$\tan C=\frac{\tan \frac{2\pi }{3}-\tan B}{1+\tan \frac{2\pi }{3}\tan B}=\frac{-\sqrt{3}-2}{1-2\sqrt{3}}=\frac{8+5\sqrt{3}}{11}$。

✅【答案】

Success

(1) $A=\frac{\pi }{3}$

(2) $\tan C=\frac{8+5\sqrt{3}}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由向量数量积 $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=-\cos A+\sqrt{3}\sin A=1.$ 用辅助角公式：$-\cos A+\sqrt{3}\sin A=2\left(-\frac{1}{2}\cos A+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A\right)=2\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right)$，故 $\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}.$ 因为 $0<A<\pi$，所以 $-\frac{\pi }{6}<A-\frac{\pi }{6}<\frac{5\pi }{6}$，在此范围内满足 $\sin \left(A-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 的只有 $A-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$，故 $A=\frac{\pi }{3}.$

（2）先确定 $\cos B\ne 0$：若 $\cos B=0$，则 $B=\frac{\pi }{2}$，原式 $=\frac{1+\sin \pi }{\cos \pi }=-1\ne -3$，矛盾，故 $\cos B\ne 0$． 由二倍角公式 ${\cos }^{2}B-{\sin }^{2}B=\cos 2B$，分子 $1+\sin 2B$，且 $1+\sin 2B={\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B+2\sin B\cos B.$ 于是原式化为（分子分母同除以 ${\cos }^{2}B$） $\frac{1+\sin 2B}{{\cos }^{2}B-{\sin }^{2}B}=\frac{(1+\tan B{)}^2}{1-{\tan }^{2}B}=\frac{1+\tan B}{1-\tan B}=-3.$ 解得 $1+\tan B=-3+3\tan B$，即 $\tan B=2$． 由 $A=\frac{\pi }{3}$，$C=\pi -A-B=\frac{2\pi }{3}-B$，故 $\tan C=\frac{\tan \frac{2\pi }{3}-\tan B}{1+\tan \frac{2\pi }{3}\tan B}=\frac{-\sqrt{3}-2}{1+(-\sqrt{3})\cdot 2}=\frac{-\sqrt{3}-2}{1-2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+2}{2\sqrt{3}-1}=\frac{8+5\sqrt{3}}{11}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量与解三角形

核心方法：(1) $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=-\cos A+\sqrt{3}\sin A=1=2\sin (A-\frac{\pi }{6})$，得 $A=\frac{\pi }{3}$；(2) $\frac{1+\sin 2B}{{\cos }^{2}B-{\sin }^{2}B}=-3$ 化 $\frac{1+\tan B}{1-\tan B}=-3$ 得 $\tan B=2$，$\tan C=\frac{8+5\sqrt{3}}{11}$

避坑指南：辅助角 $\sqrt{3}\sin A-\cos A=2\sin (A-\frac{\pi }{6})$；${\cos }^{2}B-{\sin }^{2}B=\cos 2B$，分子 $1+\sin 2B$ 化 $\tan B$ 用 $\frac{{\sin }^2+{\cos }^2+2\sin \cos }{{\cos }^2-{\sin }^2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 向量数量积与三角恒等变换

结论推广: $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$

方法推广: 辅助角公式与和差角公式联用

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-17 解-解三角形综合
• 2008-北京文-16 解-三棱锥垂直与二面角
• 2008-安徽文-02 单-向量坐标减法
• 2008-四川文-12 单-斜棱柱体积向量法