2004-辽宁卷-06 单-平面向量的坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 已知点 $A(-2,0)$、 $B(3,0)$，动点 $P(x,y)$ 满足 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=x^2$，则点 $P$ 的轨迹是 ()

A. 圆　　　　　B. 椭圆　　　　　C. 双曲线　　　　　D. 抛物线

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（写出向量分量坐标）：已知定点 $A(-2,0)$, $B(3,0)$ 以及动点 $P(x,y)$．应用平面向量坐标表示的“终点坐标减去起点坐标”基本铁律，分别写出向量 $\overrightarrow{PA}$ 与 $\overrightarrow{PB}$ 的标准坐标分量表达式。
2. 第二步逻辑（数量积代数展开）：利用平面向量数量积（点积）的坐标运算法则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$，将几何等式 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=x^2$ 转化为不含向量符号的普通二元代数方程。
3. 第三步逻辑（化简方程并判定曲线图形）：将展开后的二次方程进行移项、合并同类项．观察 $x^2$ 项与 $y^2$ 项的系数分布特征，直接比对写出其对应的标准二次曲线名称。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

• 利用向量终点减起点法则写出分量坐标： 已知三个点的坐标分别为 $A(-2,0)$， $B(3,0)$， $P(x,y)$． 根据向量的坐标构建运算： $\overrightarrow{PA}=A-P=(-2-x,0-y)=(-x-2,-y)\text{（式1）}$ $\overrightarrow{PB}=B-P=(3-x,0-y)=(-x+3,-y)\text{（式2）}$

• 对点积约束条件进行代数展开： 题目给定动点 $P$ 的拓扑方程为： $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=x^2\text{（式3）}$ 根据平面向量点积的坐标乘法运算法则，将（式1）与（式2）的分量代入（式3）左侧中： $(-x-2)(-x+3)+(-y)(-y)=x^2\text{（式4）}$ 对（式4）左侧的多项式进行乘法分配律展开： $\left[x^2-3x+2x-6\right]+y^2=x^2\text{（式5）}$ 合并（式5）左侧的同类项化简： $x^2-x-6+y^2=x^2\text{（式6）}$

• 消元化简方程并确定轨迹曲线类型： 观察方程（式6）两端，发现左右两侧同时包含完全相同的二次项 $x^2$． 等式两边同时消去该非零正数项 $x^2$： $-x-6+y^2=0\text{（式7）}$ 将（式7）的分式方程进行移项，使其常数项与一次项归于一侧，标准二次项归于另一侧： $y^2=x+6\text{（式8）}$

  分析（式8）的代数结构特征： 该二元二次方程中，自变量 $y$ 的最高次数为 2（含有 $y^2$ 项），而自变量 $x$ 的最高次数仅为 1（严格为一次线性项）。 根据圆锥曲线的解析定义，形式满足 $y^2=2px$ （或经平移变换后形如 $y^2=ax+b$）的几何图形在欧氏坐标平面上具有且仅能具有标准的抛物线结构（其对称轴平行于 $x$ 轴，开口向右）。 因此，动点 $P$ 的几何轨迹严格为一条抛物线。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量坐标的基本减法运算；点积坐标表示公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$；一元二次/一次混合方程对应的抛物线标准方程。
2. 核心方法：坐标待定法、曲线方程特征分析法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在展开 $(-x-2)(-x+3)$ 时由于负号过多产生低级算术笔误：很多学生由于粗心，将其错算成 $x^2+x-6$ 或者是 $-x^2-x-6$。请牢记多项式展开铁律：负号较多时，优先提取负号转化为正数连乘，即 $(-x-2)(-x+3)=-(x+2)\cdot [-(x-3)]=(x+2)(x-3)=x^2-x-6$。通过多写一步提取负号的防错动作，可确保后续消元时绝对不发生变号错误。
   • 注意不要看到方程里既有 $x$ 又有 $y$ 的二次项就主观盲猜是圆或椭圆。必须在化简彻底完毕、两边消去 $x^2$ 后再看最终项的次数特征，方能得出最严密的结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出处为高中数学教材“解析几何与平面向量交汇”章节关于动点轨道方程求解的经典填空/选择母题，是高考考查利用解析坐标法将几何性质完全代数消元最标准的中档送分题。
2. 结论推广: 设 $A(-c,0),B(c,0)$，动点 $P(x,y)$ 满足 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\alpha x^2$，展开得 $(1-\alpha )x^2+y^2=c^2$。当 $\alpha =0$ 时为圆，$0<\alpha <1$ 时为椭圆，$\alpha >1$ 时为双曲线，$\alpha =1$ 时退化为直线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北文-01 单-向量数量积坐标运算
• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较