1990-广东理-16 单-复数的三角形式

本题导读

本题考查复数化为三角形式，以及辐角的确定。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(理)） 复数 $1+\mathrm{i}\cot \theta$（$\pi <\theta <2\pi$）的三角形式是 ()

A. $\frac{1}{\sin \theta }(\sin \theta +\mathrm{i}\cos \theta )$　B. $\frac{1}{\sin \theta }\left[\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)\right]$　C. $-\frac{1}{\sin \theta }\left[\cos \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)\right]$　D. $-\frac{1}{\sin \theta }\left[\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\theta \right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\theta \right)\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

写出模与辐角，化为三角形式。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$1+\mathrm{i}\cot \theta =1+\mathrm{i}\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{\sin \theta +\mathrm{i}\cos \theta }{\sin \theta }$。当 $\pi <\theta <2\pi$ 时 $\sin \theta <0$，模 $r=-\frac{1}{\sin \theta }>0$。$\sin \theta +\mathrm{i}\cos \theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\theta \right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\theta \right)$（后者辐角为 $\frac{3\pi }{2}-\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$）。因模取 $-\frac{1}{\sin \theta }>0$，三角形式为 $-\frac{1}{\sin \theta }\left[\cos \left(\frac{3\pi }{2}-\theta \right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\theta \right)\right]$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的三角形式

核心方法：1+icotθ 化为三角形式，注意 θ 范围。

避坑指南：复数三角形式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数三角形式需模与辐角。

结论推广：1+icotθ 的模与辐角。

方法推广：θ∈(π,2π)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1991-三南-09 单-复数的辐角主值
• 1991-全国文-22 解-复数的模与辐角
• 1992-上海-22 解-复数的辐角主值范围