1991-三南-09 单-复数的辐角主值

本题导读

本题考查复数三角形式与辐角主值的求法，以及象限判断。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 复数 $z=-3\left(\sin \frac{4}{3}\pi -i\cos \frac{4}{3}\pi \right)$ 的辐角的主值是()

A. $\frac{4}{3}\pi$　　　　　　　　　B. $\frac{5}{3}\pi$　　　　　　　　　C. $\frac{11}{6}\pi$　　　　　　　　　D. $\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

把括号内化为标准三角形式，确定复数所在象限后求辐角主值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$，故 $z=-3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot \frac{1}{2}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i$。$z$ 位于第四象限，参考角 $\frac{\pi }{6}$，辐角主值为 $2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的辐角主值

核心方法：z=−3(sin(4π/3)−icos(4π/3))=−3(−√3/2+i/2)=3√3/2−3i/2，位于第四象限，辐角主值 11π/6。

避坑指南：辐角主值确定

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数三角形式 r(cosθ+isinθ) 的辐角主值在[0,2π)。

结论推广：先化标准三角形式再定象限判辐角。

方法推广：辐角主值、辐角的通式需区分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1992-三南-01 单-复数辐角主值
• 1993-上海-03 填-复数的辐角主值
• 1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角