1989-上海-02 填-复数乘除的运算

本题导读

本题考查复数三角形式的乘除运算。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） 计算 $2{\left(\cos \frac{\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{3}\right)}^5÷\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{6}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{6}\right)=$　$\underline{}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位）.

🔍【思路分析】

破题导航

用棣莫弗定理与复数除法（模相除、辐角相减）。

✅【答案】

Success

$-\sqrt{2}\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

$2{\left(\cos \frac{\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{3}\right)}^5=2\left(\cos \frac{5\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{5\pi }{3}\right)$。除以 $\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{6}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{6}\right)$：模相除得 $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，辐角相减得 $\frac{5\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$。故结果为 $\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{2}+\mathrm{i}\sin \frac{3\pi }{2}\right)=-\sqrt{2}\mathrm{i}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数乘除的运算

核心方法：用复数三角形式的乘除运算。

避坑指南：三角形式运算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数三角形式乘除。

结论推广：模相除辐角相减。

方法推广：辐角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1992-上海-05 填-复数的乘方
• 1991-三南-09 单-复数的辐角主值
• 1991-全国文-22 解-复数的模与辐角