1991-全国文-22 解-复数的模与辐角

本题导读

本题考查复数的模与辐角。核心在于先做复数四则运算化简，再求模与辐角主值。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 已知复数 $z=1+\mathrm{i}$，求复数 $\frac{z^2-3z+6}{z+1}$ 的模和辐角的主值.

🔍【思路分析】

破题导航

先算 $z^2$，代入分子分母，分子分母同乘分母共轭化简。

✅【答案】

Success

模 $\sqrt{2}$，辐角主值 $\frac{7\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $z=1+\mathrm{i}$ 得 $z^2=2\mathrm{i}$，故 $z^2-3z+6=2\mathrm{i}-3-3\mathrm{i}+6=3-\mathrm{i}$，且 $z+1=2+\mathrm{i}$。于是 $\frac{z^2-3z+6}{z+1}=\frac{3-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}=\frac{(3-\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}=\frac{6-3\mathrm{i}-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2}{4+1}=\frac{5-5\mathrm{i}}{5}=1-\mathrm{i}$。故模为 $\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$；对应点在第四象限，辐角主值为 $\frac{7\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模与辐角

核心方法：$z=1+\mathrm{i}$，$\frac{z^2-3z+6}{z+1}=1-\mathrm{i}$，模 $\sqrt{2}$，主值 $\frac{7\pi }{4}$

避坑指南：复数四则运算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的模与辐角

结论推广：$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，辐角主值 $[0,2\pi )$

方法推广：复数四则运算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-22 解-复数三角形式的模与辐角
• 1997-全国卷文-20 解-复数的模与辐角主值
• 1993-上海-22 解-复数的运算与模