1989-全国文-19 解-复数的模与辐角

本题导读

本题考查复数的模与辐角主值。核心在于把复数化为三角形式，用棣莫弗定理。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 设复数 $z=(1-\sqrt{3}\mathrm{i}{)}^5$，求 $z$ 的模和辐角的主值.

🔍【思路分析】

破题导航

化 $1-\sqrt{3}\mathrm{i}$ 为三角形式，用棣莫弗定理求模与辐角。

✅【答案】

Success

$|z|=32$，辐角主值 $\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

$1-\sqrt{3}\mathrm{i}$ 的模为 2，辐角主值为 $-\frac{\pi }{3}$，故 $1-\sqrt{3}\mathrm{i}=2\left(\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right)$。由棣莫弗定理，$z=2^5\left(\cos \left(-\frac{5\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{5\pi }{3}\right)\right)=32\left(\cos \frac{\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{3}\right)$。故 $|z|=32$，辐角主值为 $\frac{\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模与辐角

核心方法：化复数三角形式，用棣莫弗定理求模与辐角。

避坑指南：棣莫弗定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棣莫弗定理。

结论推广：(r(cosθ+isinθ))^n。

方法推广：辐角主值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1991-全国文-22 解-复数的模与辐角
• 1992-上海-22 解-复数的辐角主值范围
• 1991-上海-25 解-复数的辐角与轨迹