1989-上海-26 解-复数集合与辐角模

本题导读

本题考查复数集合的几何表示与辐角、模的范围。核心在于设 z=x+yi，化为圆与直线的交线段。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） 设复数集合 $M=\{z\mid |z-2+\mathrm{i}|\le 2,z\in \mathbf{C}\}\cap \{z\mid |z-2-\mathrm{i}|=|z-4+\mathrm{i}|,z\in \mathbf{C}\}$.

(1)试在复平面内作出表示集合 $M$ 的图形，并说出图形的名称；

(2)求集合 $M$ 中元素 $z$ 的辐角主值的范围；

(3)求集合 $M$ 中元素 $z$ 的模的范围.

🔍【思路分析】

破题导航

设 z=x+yi，把两条件化为圆与直线，求交线段及辐角、模。

✅【答案】

Success

(1)直线段 $AB$；(2)$\left[2\pi -\arctan \frac{3\sqrt{2}+4}{2},2\pi \right)\cup \left[0,\arctan \frac{3\sqrt{2}-4}{2}\right]$；(3)$\left[\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{9+2\sqrt{2}}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $z=x+y\mathrm{i}$，由 $|z-2+\mathrm{i}|\le 2$ 得 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2\le 4$；由 $|z-2-\mathrm{i}|=|z-4+\mathrm{i}|$ 得 $x-y=3$。故集合 $M$ 是圆与直线的交线段 $AB$。 （2）解 $\{\begin{array}{l}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=4\\ x-y=3\end{array}$ 得 $A(2+\sqrt{2},\sqrt{2}-1)$，$B(2-\sqrt{2},-\sqrt{2}-1)$。辐角主值 ${\theta }_1=\arctan \frac{\sqrt{2}-1}{2+\sqrt{2}}=\arctan \frac{3\sqrt{2}-4}{2}$，${\theta }_2=2\pi -\arctan \frac{\sqrt{2}+1}{2-\sqrt{2}}=2\pi -\arctan \frac{3\sqrt{2}+4}{2}$。故辐角范围 $\left[2\pi -\arctan \frac{3\sqrt{2}+4}{2},2\pi \right)\cup \left[0,\arctan \frac{3\sqrt{2}-4}{2}\right]$。 （3）$|OA|=\sqrt{9+2\sqrt{2}}$，$|OB|=\sqrt{9-2\sqrt{2}}$，作 $OP\perp AB$ 得 $P\left(\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right)$，$|OP|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。故模的范围 $\left[\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{9+2\sqrt{2}}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数集合与辐角模

核心方法：设 z=x+yi，化为圆与直线求交线段。

避坑指南：复数几何

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数几何意义。

结论推广：圆与直线求交。

方法推广：辐角模范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1991-上海-25 解-复数的辐角与轨迹
• 1992-上海-22 解-复数的辐角主值范围
• 1991-全国文-22 解-复数的模与辐角