1987-广东理-32 解-复数的三角式运算

本题导读

本题考查复数三角式的运算，核心在于和差化积与倍角公式。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 已知复数 $z=\cos \alpha +\mathrm{i}\sin \alpha$，$u=\cos \beta +\mathrm{i}\sin \beta$，且 $z+u=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\mathrm{i}$.(1)求 $\tan (\alpha +\beta )$ 的值；(2)求证：$z^2+u^2+zu=0$.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $z+u$ 实虚部分别和差化积，求 $\tan \frac{\alpha +\beta }{2}$ 再倍角。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{24}{7}$；(2)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$z+u=(\cos \alpha +\cos \beta )+(\sin \alpha +\sin \beta )\mathrm{i}=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\mathrm{i}$，故 $\cos \alpha +\cos \beta =\frac{4}{5}$，$\sin \alpha +\sin \beta =\frac{3}{5}$。和差化积并相除得 $\tan \frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{3}{4}$，故 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{2\cdot \frac{3}{4}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{24}{7}$。（2）$z^2+u^2+zu=[2\cos (\alpha -\beta )+1][\cos (\alpha +\beta )+\mathrm{i}\sin (\alpha +\beta )]$，而 $|z+u|=1$ 得 $|\cos \frac{\alpha -\beta }{2}|=\frac{1}{2}$，故 $\cos (\alpha -\beta )=-\frac{1}{2}$，$2\cos (\alpha -\beta )+1=0$，所以 $z^2+u^2+zu=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的三角式运算

核心方法：$z+u$ 已知，和差化积求 $\tan \frac{\alpha +\beta }{2}$，再倍角。

避坑指南：$\tan (\alpha +\beta )=\frac{24}{7}$；$z^2+u^2+zu=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数三角式。

结论推广：和差化积与倍角。

方法推广：三角形式运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-16 单-复数的三角形式
• 1989-上海-26 解-复数集合与辐角模
• 1990-全国文-25 解-复数方程的求解