1986-全国文-12 填-复数的运算

本题导读

本题考查复数的运算。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(文)） 已知 $\omega =\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$，求 ${\omega }^2+\omega +1$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

$\omega$ 是 $x^3=1$ 的虚根，满足 ${\omega }^2+\omega +1=0$；或直接展开。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

直接展开：${\omega }^2=\frac{(-1-\sqrt{3}\mathrm{i}{)}^2}{4}=\frac{1+2\sqrt{3}\mathrm{i}-3}{4}=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$。故 ${\omega }^2+\omega +1=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}+1=0$。（或：$\omega$ 是 $1$ 的立方虚根，${\omega }^3=1$ 且 $\omega \ne 1$，由 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ 知 ${\omega }^2+\omega +1=0$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的运算

核心方法：$\omega =\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$ 是 $x^3=1$ 的虚根，${\omega }^2+\omega +1=0$。

避坑指南：直接展开亦可：${\omega }^2=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$，与 $\omega$ 相加再加 1 得 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：单位立方虚根。

结论推广：${\omega }^3=1$，${\omega }^2+\omega +1=0$。

方法推广：性质法秒解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-32 解-复数的三角式运算
• 1988-广东文-29 填-复数的共轭与代数形式
• 1990-全国文-25 解-复数方程的求解