1986-广东文-38 解-复数的三角形式与等比求和

本题导读

本题考查复数的三角形式以及等比数列求和。核心在于由 $|z-1|=1$ 发现等比结构。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 设 $z=1-\cos \alpha +\mathrm{i}\sin \alpha$（$0<\alpha <\pi$）.

(1)把 $z$ 表示成三角形式；

(2)设数列 $\{b_n\}$ 的通项公式是 $b_n=|z^{n+1}-z^n|$，求和：$b_1+b_2+\cdots +b_n$.

🔍【思路分析】

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半角公式化 $z=2\sin \frac{\alpha }{2}[\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2})+\mathrm{i}\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2})]$；$b_n=|z{|}^n|z-1|$。

✅【答案】

Success

(1) $z=2\sin \frac{\alpha }{2}\left[\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}\right)\right]$

(2) $\alpha =\frac{\pi }{3}$ 时 $S_n=n$；$\alpha \ne \frac{\pi }{3}$ 时 $S_n=2\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \frac{1-{\left(2\sin \frac{\alpha }{2}\right)}^n}{1-2\sin \frac{\alpha }{2}}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$z=2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+\mathrm{i}\cdot 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}=2\sin \frac{\alpha }{2}\left(\sin \frac{\alpha }{2}+\mathrm{i}\cos \frac{\alpha }{2}\right)=2\sin \frac{\alpha }{2}\left[\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2}\right)\right]$。由于 $0<\alpha <\pi$，故 $\sin \frac{\alpha }{2}>0$，这就是 $z$ 的三角形式。 (2)由(1)知 $|z|=2\sin \frac{\alpha }{2}$。又 $b_n=|z^n(z-1)|=|z{|}^n|z-1|$，因为 $|z-1|=\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }=1$，所以 $b_n={\left(2\sin \frac{\alpha }{2}\right)}^n$。因此数列 $\{b_n\}$ 是以 $2\sin \frac{\alpha }{2}$ 为首项和公比的等比数列。当 $2\sin \frac{\alpha }{2}=1$，即 $\alpha =\frac{\pi }{3}$ 时，$S_n=n$；当 $\alpha \ne \frac{\pi }{3}$（$0<\alpha <\pi$）时，$S_n=\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\left[1-{\left(2\sin \frac{\alpha }{2}\right)}^n\right]}{1-2\sin \frac{\alpha }{2}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的三角形式与等比求和

核心方法：$z=2\sin \frac{\alpha }{2}[\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2})+\mathrm{i}\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{2})]$。

避坑指南：$|z-1|=1$，$\{b_n\}$ 为等比数列，按 $\alpha =\frac{\pi }{3}$ 分段求和。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1987 广东理第 32 题同考复数三角形式。

结论推广：$z=1-\cos \alpha +\mathrm{i}\sin \alpha$ 是模辐角标准练题。

方法推广：$|z-1|=1$ 说明 $b_n$ 是等比数列，和按公比分段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-32 解-复数的三角式运算
• 1986-上海文-33 解-棣莫佛定理的证明