1986-全国理-01 单-复数的三角形式

本题导读

本题考查复数的三角形式定义。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 ()

A. $2\left(\cos \frac{\pi }{4}-\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{4}\right)$　　　　　　　　　　B. $2\left(\cos \frac{\pi }{4}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{4}\right)$

C. $2\left(\sin \frac{\pi }{4}+\mathrm{i}\cos \frac{\pi }{4}\right)$　　　　　　　　　　D. $-2\left(\sin \frac{\pi }{4}-\mathrm{i}\cos \frac{\pi }{4}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依据复数三角形式的标准定义，复数 $z=x+\mathrm{i}y$ 的标准三角形式必须严格满足结构： $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$。
2. 约束条件包含：① 模 $r\ge 0$；② 括号内左侧为余弦项 $\cos \theta$，右侧为正弦项 $\sin \theta$；③ 两项之间由加号 “+” 连接；④ 两个三角函数的辐角 $\theta$ 必须完全相同。
3. 对照四个选项的代数结构进行筛选。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 复数 $z$ 的三角形式要求 $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$，其中 $r>0$，括号内左侧为 $\cos \theta$、右侧为 $\sin \theta$，中间用加号连接，且两个三角函数的辐角相同。 分析选项： A 选项：括号内为 $\cos \frac{\pi }{4}-\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{4}$，中间是减号，错误； B 选项：$2\left(\cos \frac{\pi }{4}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{4}\right)$ 满足 $r=2>0$、左余弦右正弦、加号连接、辐角均为 $\frac{\pi }{4}$，正确； C 选项：括号内左侧是 $\sin \frac{\pi }{4}$、右侧是 $\cos \frac{\pi }{4}$，三角函数的顺序颠倒，错误； D 选项：系数 $r=-2<0$，且括号内符号也不符合，错误。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三角形式三要素：复数三角形式必须同时满足模 $r>0$、左余弦右正弦、中间加号连接三个条件，缺一不可。
• 形式与值别混淆：A、C、D 三个选项经过诱导公式或符号变换也能化为三角形式，但它们当前的书写形态本身不属于标准三角形式，判断时应只看当下的形态。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于复数的三角形式定义 $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )(r>0)$，考查对模、实部虚部位置、连接符号及辐角一致性的辨析，是复数几何表示的基础题。

2. 结论推广：$r(\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta )=r[\cos (-\theta )+\mathrm{i}\sin (-\theta )]$；$r(\sin \theta +\mathrm{i}\cos \theta )=r[\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )+\mathrm{i}\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )]$。

3. 方法推广：判断是否已表示成三角形式，按「模、位置、符号、辐角」四项逐一比对即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-01 单-复数的三角形式
• 1986-广东文-38 解-复数的三角形式与等比求和
• 1987-全国文-04 单-复数的三角形式与辐角
• 1988-广东理-28 填-复数的三角形式
• 1988-全国文-06 单-共轭复数对应点