1986-广东理-06 单-复数的乘方与纯虚数

本题导读

本题考查复数的乘方与纯虚数的判定。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 若复数 $(\sqrt{3}+\mathrm{i}{)}^n$ 是一个纯虚数，则 $n$ 的一个可能的值是 ()

A. $5$　　　　　B. $6$　　　　　C. $7$　　　　　D. $8$　　　　　E. $9$

🔍【思路分析】

破题导航

$(\sqrt{3}+i{)}^n=2^n(\cos \frac{n\pi }{6}+\mathrm{i}\sin \frac{n\pi }{6})$。

✅【答案】

Success

E

✍【详细解析】

Abstract

$\sqrt{3}+\mathrm{i}=2(\cos \frac{\pi }{6}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{6})$，故 $(\sqrt{3}+\mathrm{i}{)}^n=2^n(\cos \frac{n\pi }{6}+\mathrm{i}\sin \frac{n\pi }{6})$。纯虚数要求实部为零：$\cos \frac{n\pi }{6}=0$，即 $\frac{n\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi$，$n=3+6k$。选项 E 的 $n=9$ 满足。故选 E。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的乘方与纯虚数

核心方法：$(\sqrt{3}+i{)}^n=2^n(\cos \frac{n\pi }{6}+i\sin \frac{n\pi }{6})$ 为纯虚数。

避坑指南：$\cos \frac{n\pi }{6}=0$，$n=3,9,\dots$，取 $n=9$，选 E。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数乘方。

结论推广：棣莫弗。

方法推广：实部为零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1988-广东理-03 单-复数集与实数集、纯虚数集的关系
• 1987-广东理-32 解-复数的三角式运算