1985-全国文-10 填-复数的乘方

本题导读

本题考查复数的乘方运算。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 设 $\mathrm{i}$ 是虚数单位，求 $(1+\mathrm{i}{)}^6$ 的值 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$(1+\mathrm{i}{)}^2=2\mathrm{i}$，再取三次方。

✅【答案】

Success

$-8\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 ${\mathrm{i}}^2=-1$，所以 $(1+\mathrm{i}{)}^2=1+2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=2\mathrm{i}$。于是 $(1+\mathrm{i}{)}^6={\left((1+\mathrm{i}{)}^2\right)}^3=(2\mathrm{i}{)}^3=8{\mathrm{i}}^3=-8\mathrm{i}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的乘方

核心方法：$(1+\mathrm{i}{)}^2=2\mathrm{i}$，再立方。

避坑指南：$(2\mathrm{i}{)}^3=8{\mathrm{i}}^3=-8\mathrm{i}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1988 全国文第 1 题同考复数乘方。

结论推广：$(1+\mathrm{i}{)}^2=2\mathrm{i}$ 是常用结论。

方法推广：高次乘方先降二次再合并，或化为三角形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-01 单-复数的乘方
• 1986-广东理-06 单-复数的乘方与纯虚数