1997-全国卷文-20 解-复数的模与辐角主值

本题导读

本题考查复数的乘法、模与辐角主值。核心在于把复数化为三角形式后相乘。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 已知复数 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$\omega =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.求复数 $z\omega +z{\omega }^3$ 的模及辐角主值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把 $z$、$\omega$ 化为三角形式。
2. 提取公因式 $z\omega$，利用 ${\omega }^2=i$ 化简。

✅【答案】

Success

模为 $\sqrt{2}$，辐角主值为 $\frac{5\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

$z=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$，$\omega =\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$，且 ${\omega }^2=i$。于是 $z\omega +z{\omega }^3=z\omega (1+{\omega }^2)=z\omega (1+i)$。又 $1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$，所以 $\omega (1+i)=\sqrt{2}{\omega }^2=\sqrt{2}i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$。故 $z\omega (1+i)=\sqrt{2}zi=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$。因此所求模为 $\sqrt{2}$，辐角主值为 $\frac{5\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模与辐角主值

核心方法：$z=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$，$\omega =\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$；$z\omega +z{\omega }^3=z\omega (1+{\omega }^2)=z\omega (1+i)$；$\omega (1+i)=(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})=\sqrt{2}i$，故 $z\omega (1+i)=\sqrt{2}zi$，模 $\sqrt{2}$，辐角 $\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}$

避坑指南：三角式相乘定模辐角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的三角形式

结论推广：一般地，三角式相乘模相乘、辐角相加

方法推广：三角式相乘

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-18 解-复数旋转与辐角主值
• 1999-上海理-19 解-复数辐角主值的范围
• 1998-全国卷文-08 单-复数的立方根