1997-上海理-20A 解-复数的实系数方程与辐角

本题导读

本题考查复数与实系数方程的关系，核心在于实系数方程的虚根共轭成对及辐角主值的范围。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） （选做题，20A 与 20B 二选一）设虚数 $z_1,z_2$ 满足 $z_1^2=z_2$.

(1)若 $z_1,z_2$ 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求 $z_1,z_2$；

(2)若 $z_1=1+mi$（$m>0$，$i$ 为虚数单位），$\omega =z_2-2$，$\omega$ 的辐角主值为 $\theta$，求 $\theta$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设共轭复根 $z_1=a+bi,z_2=a-bi$，代入 $z_1^2=z_2$ 解 $a,b$。
2. 由 $z_1=1+mi$ 求 $z_2$、$\omega$，讨论 $\tan \theta$ 的范围。

✅【答案】

Success

(1) $z_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 或 $z_1=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

(2) $\left[\frac{3\pi }{4},\pi \right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $z_1=a+bi$，$z_2=a-bi$（$a,b\in \mathbf{R}$ 且 $b\ne 0$）。由 $z_1^2=z_2$ 得 $a^2-b^2+2abi=a-bi$，于是 $\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=a\\ 2ab=-b\end{array}$。由 $b\ne 0$ 得 $a=-\frac{1}{2}$，代回得 $b^2=\frac{3}{4}$，即 $b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。所以 $z_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，或 $z_1=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。 （2）由 $z_1=1+mi$（$m>0$），$z_1^2=z_2$，得 $z_2=(1-m^2)+2mi$，所以 $\omega =-(1+m^2)+2mi$，$\tan \theta =-\frac{2m}{1+m^2}=-\frac{2}{m+\frac{1}{m}}$。由 $m>0$ 知 $m+\frac{1}{m}⩾2$，于是 $-1⩽\tan \theta <0$。又由 $-(m^2+1)<0$、$2m>0$，得 $\frac{3\pi }{4}⩽\theta <\pi$。因此，所求 $\theta$ 的取值范围为 $\left[\frac{3\pi }{4},\pi \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的实系数方程与辐角

核心方法：(1) 设 $z_1=a+bi,z_2=a-bi$，由 $z_1^2=z_2$ 得 $a=-\frac{1}{2},b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $z_1=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$；；(2) $z_2=(1-m^2)+2mi$，$\omega =-(1+m^2)+2mi$，$\tan \theta =-\frac{2m}{1+m^2}$，由 $m>0$ 得 $\theta \in [\frac{3\pi }{4},\pi )$

避坑指南：共轭复根设元 + 辐角范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数

结论推广：一般地，实系数方程虚根共轭成对

方法推广：共轭复根设元 + 辐角范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-18 解-复数旋转与辐角主值
• 1999-上海理-19 解-复数辐角主值的范围
• 1997-全国卷文-20 解-复数的模与辐角主值