1996-上海文-22A 解-复数的模与纯虚数

本题导读

本题考查复数的模、实部取值范围与最值，核心在于由 $z+\frac{1}{z}$ 为实数得 $|z|=1$、化 $u$ 为纯虚数、用均值不等式求最值。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(文)） （选做题，22A 与 22B 二选一）(1)设 $z$ 是虚数，$w=z+\frac{1}{z}$ 是实数，且 $-1<w<2$.求 $|z|$ 的值及 $z$ 的实部的取值范围；

(2)设 $u=\frac{1-z}{1+z}$.求证：$u$ 为纯虚数；

(3)求 $w-u^2$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $z=a+bi$，由 $w$ 为实数得 $a^2+b^2=1$。
2. 用共轭复根化简 $u$，证其为纯虚数。
3. 把 $w-u^2$ 化为 $a$ 的函数，用均值不等式求最小值。

✅【答案】

Success

(1) $|z|=1$，实部 $a\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$

(2) 见解析

(3) 最小值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设 $z=a+bi$（$a,b\in \mathbf{R}$，$b\ne 0$），则 $w=a+bi+\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\left(a+\frac{a}{a^2+b^2}\right)+\left(b-\frac{b}{a^2+b^2}\right)i$。因为 $w$ 是实数，故 $a^2+b^2=1$，即 $|z|=1$。又 $w=2a$，由 $-1<w<2$ 得 $-\frac{1}{2}<a<1$。 (2)由 $z=a+bi$ 及 $a^2+b^2=1$，得 $u=\frac{1-z}{1+z}=\frac{1-a-bi}{1+a+bi}=\frac{(1-a-bi)(1+a-bi)}{(1+a+bi)(1+a-bi)}=\frac{1-a^2-b^2-2bi}{(1+a{)}^2+b^2}=-\frac{b}{a+1}i$。所以 $u$ 为纯虚数。 (3)由 $u=-\frac{b}{a+1}i$，得 $u^2=-\frac{b^2}{(a+1{)}^2}$。于是 $w-u^2=2a+\frac{b^2}{(a+1{)}^2}=2a+\frac{1-a^2}{(a+1{)}^2}=2\left((a+1)+\frac{1}{a+1}\right)-3$。因为 $a\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$，所以 $a+1>0$，由均值不等式得 $(a+1)+\frac{1}{a+1}⩾2$，故 $w-u^2⩾1$。当 $a=0$ 时取等号，所以最小值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的模与纯虚数

核心方法：(1) $w=z+\frac{1}{z}=a+bi+\frac{a-bi}{a^2+b^2}$ 为实数得 $a^2+b^2=1$，即 $|z|=1$，$w=2a$，由 $-1<w<2$ 得 $-\frac{1}{2}<a<1$；；(2) $u=\frac{1-z}{1+z}=-\frac{b}{a+1}i$ 为纯虚数；；(3) $w-u^2=2a+\frac{b^2}{(a+1{)}^2}=2[(a+1)+\frac{1}{a+1}]-3\ge 1$，当 $a=0$ 取等，最小值 $1$

避坑指南：实部虚部分离 + 均值不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的模与共轭

结论推广：一般地，实部虚部分离，均值不等式求最值

方法推广：实部虚部分离 + 均值不等式

🔗【关联脉络】

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